Номер 98, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

98. Представьте в виде корня n-й степени выражение:

а) $\sqrt[5]{\sqrt{3}}$;

б) $\sqrt[3]{\sqrt{2}}$;

в) $\sqrt[4]{\sqrt{25}}$;

г) $\sqrt[3]{\sqrt[7]{8}}$.

Для того чтобы представить выражение в виде корня n-ой степени, необходимо воспользоваться свойством корня из корня. Согласно этому свойству, чтобы извлечь корень из корня, нужно перемножить показатели корней, оставив подкоренное выражение без изменений.
Это свойство можно записать в виде формулы: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$, где $a \ge 0$, а $m$ и $n$ — натуральные числа, большие 1.

а)

Рассмотрим выражение $\sqrt{\sqrt[5]{3}}$.
Здесь внешний корень является квадратным (его показатель равен 2), а внутренний корень — пятой степени (показатель 5).
Применим формулу, перемножив показатели корней:
$\sqrt{\sqrt[5]{3}} = \sqrt[2 \cdot 5]{3} = \sqrt[10]{3}$.
Ответ: $\sqrt[10]{3}$.

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{\sqrt{2}}$.
Внешний корень имеет показатель 3, а внутренний — квадратный (показатель 2).
Перемножаем показатели корней:
$\sqrt[3]{\sqrt{2}} = \sqrt[3 \cdot 2]{2} = \sqrt[6]{2}$.
Ответ: $\sqrt[6]{2}$.

в)

Рассмотрим выражение $\sqrt{\sqrt[4]{25}}$.
Внешний корень — квадратный (показатель 2), внутренний — четвертой степени (показатель 4).
Перемножаем показатели:
$\sqrt{\sqrt[4]{25}} = \sqrt[2 \cdot 4]{25} = \sqrt[8]{25}$.
Данное выражение можно упростить. Заметим, что подкоренное число 25 можно представить как $5^2$.
$\sqrt[8]{25} = \sqrt[8]{5^2}$.
Используя свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, можно сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель, равный 2:
$\sqrt[8]{5^2} = \sqrt[4 \cdot 2]{5^{1 \cdot 2}} = \sqrt[4]{5}$.
Ответ: $\sqrt[4]{5}$.

г)

Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{\sqrt[7]{8}}$.
Показатели корней равны 3 и 7.
Перемножаем показатели:
$\sqrt[3]{\sqrt[7]{8}} = \sqrt[3 \cdot 7]{8} = \sqrt[21]{8}$.
Это выражение также можно упростить. Представим число 8 в виде степени: $8 = 2^3$.
$\sqrt[21]{8} = \sqrt[21]{2^3}$.
Сократим показатель корня (21) и показатель степени подкоренного выражения (3) на их общий делитель, равный 3:
$\sqrt[21]{2^3} = \sqrt[7 \cdot 3]{2^{1 \cdot 3}} = \sqrt[7]{2}$.
Ответ: $\sqrt[7]{2}$.