Номер 96, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

96. Воспользуйтесь свойствами корня $n$-й степени и найдите значение выражения:

а) $\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25};$

б) $\sqrt[4]{62,5} \cdot \sqrt[4]{10};$

в) $\frac{\sqrt[7]{256}}{\sqrt[7]{2}};$

г) $\sqrt[3]{\frac{4}{25}} : \sqrt[3]{\frac{5}{16}}.$

а) Для решения этого примера воспользуемся свойством произведения корней n-й степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
В нашем случае степень корня $n=3$.
$\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5 \cdot 25} = \sqrt[3]{125}$
Мы знаем, что $5^3 = 125$. Следовательно, корень кубический из 125 равен 5.
$\sqrt[3]{125} = 5$
Ответ: 5

б) Используем то же свойство произведения корней, что и в предыдущем пункте.
Степень корня $n=4$.
$\sqrt[4]{62,5} \cdot \sqrt[4]{10} = \sqrt[4]{62,5 \cdot 10} = \sqrt[4]{625}$
Нам нужно найти число, четвертая степень которого равна 625. Это число 5, так как $5^4 = 625$.
$\sqrt[4]{625} = 5$
Ответ: 5

в) Здесь мы применим свойство частного корней n-й степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
Степень корня $n=7$.
$\frac{\sqrt[7]{256}}{\sqrt[7]{2}} = \sqrt[7]{\frac{256}{2}} = \sqrt[7]{128}$
Нам нужно найти число, седьмая степень которого равна 128. Это число 2, так как $2^7 = 128$.
$\sqrt[7]{128} = 2$
Ответ: 2

г) Воспользуемся свойством частного корней n-й степени. В русской нотации знак ":" обозначает деление. $\sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a:b}$.
Степень корня $n=3$.
$\sqrt[3]{\frac{4}{25}} : \sqrt[3]{\frac{5}{16}} = \sqrt[3]{\frac{4}{25} : \frac{5}{16}}$
Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь:
$\sqrt[3]{\frac{4}{25} \cdot \frac{16}{5}} = \sqrt[3]{\frac{4 \cdot 16}{25 \cdot 5}} = \sqrt[3]{\frac{64}{125}}$
Теперь используем свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:
$\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{4}{5}$, так как $4^3 = 64$ и $5^3 = 125$.
Ответ: $\frac{4}{5}$