Номер 93, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

93. Найдите все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами:

а) $2$ и $\sqrt[3]{129}$;

б) $\sqrt[5]{-37}$ и $\sqrt[6]{71}$;

в) $\sqrt[7]{-129}$ и $\sqrt[6]{1 000 001}$.

а) Нам нужно найти все целые числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $2 < x < \sqrt[3]{129}$.

Для этого оценим значение корня. Мы знаем, что $5^3 = 125$ и $6^3 = 216$. Так как подкоренное выражение 129 находится между 125 и 216, то значение корня $\sqrt[3]{129}$ находится между 5 и 6. То есть, $5 < \sqrt[3]{129} < 6$.

Теперь наше неравенство можно представить в виде $2 < x < (\text{число между 5 и 6})$. Целыми числами, которые больше 2, но меньше числа, которое чуть больше 5, являются 3, 4 и 5.

Ответ: 3, 4, 5.

б) Нам нужно найти все целые числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $\sqrt[5]{-37} < x < \sqrt[6]{71}$.

Оценим левую границу $\sqrt[5]{-37}$. Мы знаем, что $(-2)^5 = -32$ и $(-3)^5 = -243$. Так как $-37$ находится между -243 и -32, то значение корня $\sqrt[5]{-37}$ находится между -3 и -2.

Оценим правую границу $\sqrt[6]{71}$. Мы знаем, что $2^6 = 64$ и $3^6 = 729$. Так как 71 находится между 64 и 729, то значение корня $\sqrt[6]{71}$ находится между 2 и 3.

Таким образом, мы ищем целые числа $x$, для которых $(\text{число между -3 и -2}) < x < (\text{число между 2 и 3})$. Этому условию удовлетворяют целые числа -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: -2, -1, 0, 1, 2.

в) Нам нужно найти все целые числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $\sqrt[7]{-129} < x < \sqrt[6]{1\ 000\ 001}$.

Оценим левую границу $\sqrt[7]{-129}$. Мы знаем, что $(-2)^7 = -128$ и $(-3)^7 = -2187$. Так как -129 находится между -2187 и -128, то значение корня $\sqrt[7]{-129}$ находится между -3 и -2.

Оценим правую границу $\sqrt[6]{1\ 000\ 001}$. Мы знаем, что $10^6 = 1\ 000\ 000$. Поскольку $1\ 000\ 001 > 1\ 000\ 000$, то $\sqrt[6]{1\ 000\ 001} > \sqrt[6]{1\ 000\ 000}$, то есть $\sqrt[6]{1\ 000\ 001} > 10$. Следующее целое число, 11, в шестой степени равно $11^6 = 1\ 771\ 561$, что гораздо больше $1\ 000\ 001$. Значит, значение корня $\sqrt[6]{1\ 000\ 001}$ находится между 10 и 11.

Итак, мы ищем целые числа $x$, для которых $(\text{число между -3 и -2}) < x < (\text{число между 10 и 11})$. Этому условию удовлетворяют все целые числа от -2 до 10 включительно.

Ответ: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.