Номер 119, страница 179 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

119. Найдите значение выражения:

а) $\log_{2}\log_{9} 81$;

б) $\log_{9}\log_{11} 121$;

в) $\log_{3}\lg 1000$;

г) $\log_{27}\log_{5} 125$;

д) $\log_{\frac{1}{5}}\log_{2} 32$;

е) $\log_{3}\log_{5} \sqrt[9]{5}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\log_2 \log_9 81$, сначала вычислим значение внутреннего логарифма $\log_9 81$. Логарифм $\log_9 81$ — это степень, в которую нужно возвести основание 9, чтобы получить 81. Так как $9^2 = 81$, то $\log_9 81 = 2$. Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение: $\log_2 (\log_9 81) = \log_2 2$. Логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен 1, то есть $\log_a a = 1$. Следовательно, $\log_2 2 = 1$.
Ответ: 1

б) Чтобы найти значение выражения $\log_9 \log_{11} 121$, начнем с вычисления внутреннего логарифма $\log_{11} 121$. Так как $11^2 = 121$, то $\log_{11} 121 = 2$. Подставим это значение в исходное выражение: $\log_9 (\log_{11} 121) = \log_9 2$. Это выражение не упрощается до целого или рационального числа. Это иррациональное число, которое является точным значением выражения. Можно выразить его через логарифм по другому основанию, например, по основанию 3: $\log_9 2 = \log_{3^2} 2 = \frac{1}{2} \log_3 2$.
Ответ: $\log_9 2$

в) Чтобы найти значение выражения $\log_3 \lg 1000$, сначала определим значение $\lg 1000$. Символ $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. $\lg 1000 = \log_{10} 1000$. Так как $10^3 = 1000$, то $\log_{10} 1000 = 3$. Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\log_3 (\lg 1000) = \log_3 3$. По свойству логарифма $\log_a a = 1$, получаем $\log_3 3 = 1$.
Ответ: 1

г) Чтобы найти значение выражения $\log_{27} \log_5 125$, вычислим внутренний логарифм $\log_5 125$. Так как $5^3 = 125$, то $\log_5 125 = 3$. Подставим полученное значение в выражение: $\log_{27} (\log_5 125) = \log_{27} 3$. Для вычисления $\log_{27} 3$ воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$. Представим основание 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$. $\log_{27} 3 = \log_{3^3} 3 = \frac{1}{3} \log_3 3 = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

д) Чтобы найти значение выражения $\log_{\frac{1}{5}} \log_2 32$, вычислим внутренний логарифм $\log_2 32$. Так как $2^5 = 32$, то $\log_2 32 = 5$. Подставим это значение в исходное выражение: $\log_{\frac{1}{5}} (\log_2 32) = \log_{\frac{1}{5}} 5$. Для вычисления $\log_{\frac{1}{5}} 5$ представим основание $\frac{1}{5}$ как $5^{-1}$. Используя свойство $\log_{a^k} a = \frac{1}{k}$, получаем: $\log_{\frac{1}{5}} 5 = \log_{5^{-1}} 5^1 = \frac{1}{-1} = -1$.
Ответ: -1

е) Чтобы найти значение выражения $\log_3 \log_5 \sqrt[9]{5}$, начнем с внутреннего логарифма $\log_5 \sqrt[9]{5}$. Представим корень в виде степени: $\sqrt[9]{5} = 5^{\frac{1}{9}}$. Тогда, используя свойство $\log_a a^b = b$, получаем: $\log_5 \sqrt[9]{5} = \log_5 (5^{\frac{1}{9}}) = \frac{1}{9}$. Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\log_3 (\log_5 \sqrt[9]{5}) = \log_3 \frac{1}{9}$. Представим $\frac{1}{9}$ как степень числа 3: $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$. Тогда $\log_3 \frac{1}{9} = \log_3 (3^{-2}) = -2$.
Ответ: -2