Номер 121, страница 179 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

121. Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а) $\log_7^2 \sqrt[5]{7}$

б) $\log_5^3 \frac{1}{\sqrt[4]{5}}$

в) $\lg \sqrt[4]{10}$

г) $\log_{27}^5 (3\sqrt{3})$

а) Для того чтобы определить, является ли значение выражения $\log_{7^2} \sqrt[5]{7}$ рациональным или иррациональным числом, упростим его, используя свойства логарифмов.

Сначала представим основание и аргумент логарифма в виде степеней с одинаковым основанием 7:

Основание: $7^2$

Аргумент: $\sqrt[5]{7} = 7^{\frac{1}{5}}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$\log_{7^2} (7^{\frac{1}{5}})$

Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:

$\log_{7^2} (7^{\frac{1}{5}}) = \frac{\frac{1}{5}}{2} \log_7 7$

Так как $\log_7 7 = 1$, получаем:

$\frac{\frac{1}{5}}{2} \cdot 1 = \frac{1}{5 \cdot 2} = \frac{1}{10}$

Число $\frac{1}{10}$ можно представить в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа. Следовательно, это рациональное число.

Ответ: рациональное число.

б) Рассмотрим выражение $\log_5^3 \frac{1}{\sqrt[4]{5}}$. Данная запись означает $(\log_5 \frac{1}{\sqrt[4]{5}})^3$.

Сначала найдем значение логарифма $\log_5 \frac{1}{\sqrt[4]{5}}$.

Преобразуем аргумент логарифма:

$\frac{1}{\sqrt[4]{5}} = \frac{1}{5^{\frac{1}{4}}} = 5^{-\frac{1}{4}}$

Подставим в логарифм:

$\log_5 (5^{-\frac{1}{4}})$

Используя свойство логарифма $\log_a a^x = x$, получаем:

$\log_5 (5^{-\frac{1}{4}}) = -\frac{1}{4}$

Теперь возведем полученное значение в третью степень:

$(-\frac{1}{4})^3 = -\frac{1^3}{4^3} = -\frac{1}{64}$

Число $-\frac{1}{64}$ является отношением двух целых чисел, поэтому оно рациональное.

Ответ: рациональное число.

в) Рассмотрим выражение $\lg \sqrt[4]{10}$.

Запись $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $\lg x = \log_{10} x$.

Упростим аргумент логарифма:

$\sqrt[4]{10} = 10^{\frac{1}{4}}$

Подставим в выражение:

$\lg \sqrt[4]{10} = \log_{10} (10^{\frac{1}{4}})$

По свойству логарифма $\log_a a^x = x$ имеем:

$\log_{10} (10^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{4}$

Число $\frac{1}{4}$ является рациональным, так как это дробь с целым числителем и знаменателем.

Ответ: рациональное число.

г) Рассмотрим выражение $\log_{27}^5 (3\sqrt{3})$. Данная запись означает $(\log_{27} (3\sqrt{3}))^5$.

Сначала вычислим значение логарифма $\log_{27} (3\sqrt{3})$.

Приведем основание и аргумент логарифма к степеням с одинаковым основанием, например, 3.

Основание: $27 = 3^3$.

Аргумент: $3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$.

Подставим преобразованные значения в логарифм:

$\log_{27} (3\sqrt{3}) = \log_{3^3} (3^{\frac{3}{2}})$

Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:

$\log_{3^3} (3^{\frac{3}{2}}) = \frac{\frac{3}{2}}{3} \log_3 3 = \frac{3}{2 \cdot 3} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Теперь возведем полученное значение в пятую степень:

$(\frac{1}{2})^5 = \frac{1^5}{2^5} = \frac{1}{32}$

Число $\frac{1}{32}$ является отношением двух целых чисел, следовательно, оно рациональное.

Ответ: рациональное число.