Номер 129, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

129. Найдите значение выражения:

a) $\frac{4\sin\alpha - 5\cos\alpha}{2\sin\alpha - \cos\alpha}$, если $\tan\alpha = \frac{2}{3}$;

б) $\frac{5\sin\alpha + 2\cos\alpha}{3\sin\alpha - 4\cos\alpha}$, если $\cot\alpha = -2,5$.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{4\sin\alpha - 5\cos\alpha}{2\sin\alpha - \cos\alpha}$ при известном значении $\tan\alpha = \frac{2}{3}$, необходимо преобразовать выражение так, чтобы оно содержало только тангенс. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos\alpha$. Это действие правомерно, так как если бы $\cos\alpha = 0$, то тангенс был бы не определен, что противоречит условию задачи.

$\frac{4\sin\alpha - 5\cos\alpha}{2\sin\alpha - \cos\alpha} = \frac{\frac{4\sin\alpha - 5\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{2\sin\alpha - \cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{4\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 5\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}$

Поскольку $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, выражение принимает вид:

$\frac{4\tan\alpha - 5}{2\tan\alpha - 1}$

Теперь подставим заданное значение $\tan\alpha = \frac{2}{3}$ в полученное выражение и выполним вычисления:

$\frac{4 \cdot \frac{2}{3} - 5}{2 \cdot \frac{2}{3} - 1} = \frac{\frac{8}{3} - 5}{\frac{4}{3} - 1} = \frac{\frac{8}{3} - \frac{15}{3}}{\frac{4}{3} - \frac{3}{3}} = \frac{\frac{8 - 15}{3}}{\frac{4 - 3}{3}} = \frac{-\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}} = -7$

Ответ: -7

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{5\sin\alpha + 2\cos\alpha}{3\sin\alpha - 4\cos\alpha}$ при известном значении $\cot\alpha = -2.5$, преобразуем выражение так, чтобы оно содержало только котангенс. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на $\sin\alpha$. Это действие правомерно, так как если бы $\sin\alpha = 0$, то котангенс был бы не определен, что противоречит условию.

$\frac{5\sin\alpha + 2\cos\alpha}{3\sin\alpha - 4\cos\alpha} = \frac{\frac{5\sin\alpha + 2\cos\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{3\sin\alpha - 4\cos\alpha}{\sin\alpha}} = \frac{5\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha} + 2\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{3\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha} - 4\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}$

Поскольку $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, выражение принимает вид:

$\frac{5 + 2\cot\alpha}{3 - 4\cot\alpha}$

Теперь подставим заданное значение $\cot\alpha = -2.5$ в полученное выражение и выполним вычисления:

$\frac{5 + 2 \cdot (-2.5)}{3 - 4 \cdot (-2.5)} = \frac{5 - 5}{3 + 10} = \frac{0}{13} = 0$

Ответ: 0