Номер 132, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

132. Упростите выражение:

a) $\sin(90^\circ - \alpha) - \cos(90^\circ + \alpha);$

б) $\tan(\alpha - 360^\circ) - \cot(270^\circ - \alpha);$

в) $\sin(180^\circ + \alpha) + \cos(\alpha - 90^\circ);$

г) $\tan(90^\circ + \alpha) - \cot(\alpha - 450^\circ).$

а)

Для упрощения выражения $\sin(90^\circ - \alpha) - \cos(90^\circ + \alpha)$ воспользуемся формулами приведения.

1. Упростим $\sin(90^\circ - \alpha)$. Угол $(90^\circ - \alpha)$ находится в I четверти, где синус положителен. Так как в формуле присутствует $90^\circ$, синус меняется на кофункцию, то есть на косинус. Таким образом, $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$.

2. Упростим $\cos(90^\circ + \alpha)$. Угол $(90^\circ + \alpha)$ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Так как в формуле присутствует $90^\circ$, косинус меняется на кофункцию, то есть на синус. Таким образом, $\cos(90^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)$.

3. Подставим полученные значения в исходное выражение: $\sin(90^\circ - \alpha) - \cos(90^\circ + \alpha) = \cos(\alpha) - (-\sin(\alpha)) = \cos(\alpha) + \sin(\alpha)$.

Это выражение можно представить в более компактном виде с помощью формулы вспомогательного угла: $\sin(\alpha) + \cos(\alpha) = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\alpha) + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\alpha)) = \sqrt{2}(\cos(45^\circ)\sin(\alpha) + \sin(45^\circ)\cos(\alpha)) = \sqrt{2}\sin(\alpha + 45^\circ)$.

Ответ: $\sqrt{2}\sin(\alpha + 45^\circ)$

б)

Для упрощения выражения $\tg(\alpha - 360^\circ) - \ctg(270^\circ - \alpha)$ воспользуемся периодичностью тригонометрических функций и формулами приведения.

1. Упростим $\tg(\alpha - 360^\circ)$. Функция тангенса является периодической с периодом $180^\circ$ (и, следовательно, $360^\circ$). Поэтому мы можем отбросить полный оборот $360^\circ$. $\tg(\alpha - 360^\circ) = \tg(\alpha)$.

2. Упростим $\ctg(270^\circ - \alpha)$. Угол $(270^\circ - \alpha)$ находится в III четверти, где котангенс положителен. Так как в формуле присутствует $270^\circ$, котангенс меняется на кофункцию, то есть на тангенс. Таким образом, $\ctg(270^\circ - \alpha) = \tg(\alpha)$.

3. Подставим полученные значения в исходное выражение: $\tg(\alpha - 360^\circ) - \ctg(270^\circ - \alpha) = \tg(\alpha) - \tg(\alpha) = 0$.

Ответ: $0$

в)

Для упрощения выражения $\sin(180^\circ + \alpha) + \cos(\alpha - 90^\circ)$ воспользуемся формулами приведения.

1. Упростим $\sin(180^\circ + \alpha)$. Угол $(180^\circ + \alpha)$ находится в III четверти, где синус отрицателен. Так как в формуле присутствует $180^\circ$, функция не меняется. Таким образом, $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)$.

2. Упростим $\cos(\alpha - 90^\circ)$. Сначала воспользуемся свойством четности косинуса: $\cos(x) = \cos(-x)$. $\cos(\alpha - 90^\circ) = \cos(-(90^\circ - \alpha)) = \cos(90^\circ - \alpha)$. Теперь применим формулу приведения. Угол $(90^\circ - \alpha)$ находится в I четверти, где косинус положителен. Так как в формуле присутствует $90^\circ$, косинус меняется на синус. Таким образом, $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.

3. Подставим полученные значения в исходное выражение: $\sin(180^\circ + \alpha) + \cos(\alpha - 90^\circ) = -\sin(\alpha) + \sin(\alpha) = 0$.

Ответ: $0$

г)

Для упрощения выражения $\tg(90^\circ + \alpha) - \ctg(\alpha - 450^\circ)$ воспользуемся формулами приведения и периодичностью.

1. Упростим $\tg(90^\circ + \alpha)$. Угол $(90^\circ + \alpha)$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен. Так как в формуле присутствует $90^\circ$, тангенс меняется на кофункцию, то есть на котангенс. Таким образом, $\tg(90^\circ + \alpha) = -\ctg(\alpha)$.

2. Упростим $\ctg(\alpha - 450^\circ)$. Воспользуемся периодичностью котангенса (период $180^\circ$): $450^\circ = 2 \cdot 180^\circ + 90^\circ$. $\ctg(\alpha - 450^\circ) = \ctg(\alpha - 90^\circ - 2 \cdot 180^\circ) = \ctg(\alpha - 90^\circ)$. Теперь воспользуемся свойством нечетности котангенса: $\ctg(\alpha - 90^\circ) = \ctg(-(90^\circ - \alpha)) = -\ctg(90^\circ - \alpha)$. Применим формулу приведения: угол $(90^\circ - \alpha)$ находится в I четверти, где котангенс положителен. Функция меняется на тангенс. $-\ctg(90^\circ - \alpha) = -\tg(\alpha)$. Таким образом, $\ctg(\alpha - 450^\circ) = -\tg(\alpha)$.

3. Подставим полученные значения в исходное выражение: $\tg(90^\circ + \alpha) - \ctg(\alpha - 450^\circ) = -\ctg(\alpha) - (-\tg(\alpha)) = \tg(\alpha) - \ctg(\alpha)$.

4. Преобразуем полученное выражение, приведя его к общему знаменателю и используя формулы двойного угла: $\tg(\alpha) - \ctg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} - \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{\sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{-(\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha))}{\frac{1}{2}(2\sin(\alpha)\cos(\alpha))} = \frac{-\cos(2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = -2\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = -2\ctg(2\alpha)$.

Ответ: $-2\ctg(2\alpha)$