Номер 131, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

131. С помощью формул приведения приведите к тригонометрической функции угла $\alpha$ выражение:

а) $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right);$

б) $\text{ctg}(\pi + \alpha);$

в) $\cos^2\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right);$

г) $\text{tg}(\alpha - \pi);$

д) $\sin^2(3\pi - \alpha);$

е) $\text{ctg}\left(\alpha - \frac{5\pi}{2}\right);$

ж) $\cos^3(5\pi + \alpha);$

з) $\text{tg}^4\left(\alpha - \frac{9\pi}{2}\right);$

и) $\sin^5\left(\alpha - \frac{7\pi}{2}\right).$

а) Для выражения $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) $ используем формулы приведения. Угол $ \frac{\pi}{2} + \alpha $ находится во второй четверти (если считать $ \alpha $ острым углом). Во второй четверти синус положителен. Так как в аргументе присутствует $ \frac{\pi}{2} $, функция синус меняется на кофункцию, то есть на косинус.
Следовательно, $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\alpha) $.
Ответ: $ \cos(\alpha) $

б) Для выражения $ \operatorname{ctg}(\pi + \alpha) $ используем формулы приведения. Угол $ \pi + \alpha $ находится в третьей четверти. В третьей четверти котангенс положителен. Так как в аргументе присутствует $ \pi $, функция не меняется.
Следовательно, $ \operatorname{ctg}(\pi + \alpha) = \operatorname{ctg}(\alpha) $.
Ответ: $ \operatorname{ctg}(\alpha) $

в) Для выражения $ \cos^2(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $ сначала упростим $ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $. Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Так как в аргументе присутствует $ \frac{3\pi}{2} $, функция косинус меняется на синус.
Таким образом, $ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin(\alpha) $.
Теперь возведем результат в квадрат: $ (-\sin(\alpha))^2 = \sin^2(\alpha) $.
Ответ: $ \sin^2(\alpha) $

г) Для выражения $ \operatorname{tg}(\alpha - \pi) $ воспользуемся периодичностью тангенса. Период тангенса равен $ \pi $.
Следовательно, $ \operatorname{tg}(\alpha - \pi) = \operatorname{tg}(\alpha - \pi + \pi) = \operatorname{tg}(\alpha) $.
Ответ: $ \operatorname{tg}(\alpha) $

д) Для выражения $ \sin^2(3\pi - \alpha) $ сначала упростим $ \sin(3\pi - \alpha) $. Используя периодичность синуса (период $ 2\pi $), имеем:
$ \sin(3\pi - \alpha) = \sin(2\pi + \pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha) $.
Теперь применим формулу приведения. Угол $ \pi - \alpha $ находится во второй четверти, где синус положителен. Функция не меняется.
$ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $.
Возводим в квадрат: $ (\sin(\alpha))^2 = \sin^2(\alpha) $.
Ответ: $ \sin^2(\alpha) $

е) Для выражения $ \operatorname{ctg}(\alpha - \frac{5\pi}{2}) $ воспользуемся свойством нечетности котангенса и его периодичностью.
$ \operatorname{ctg}(\alpha - \frac{5\pi}{2}) = \operatorname{ctg}(-(\frac{5\pi}{2} - \alpha)) = -\operatorname{ctg}(\frac{5\pi}{2} - \alpha) $.
Период котангенса равен $ \pi $. Представим $ \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} $.
$ -\operatorname{ctg}(\frac{5\pi}{2} - \alpha) = -\operatorname{ctg}(2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) $.
По формуле приведения, $ \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \operatorname{tg}(\alpha) $.
Итоговое выражение: $ -\operatorname{tg}(\alpha) $.
Ответ: $ -\operatorname{tg}(\alpha) $

ж) Для выражения $ \cos^3(5\pi + \alpha) $ сначала упростим $ \cos(5\pi + \alpha) $. Используя периодичность косинуса (период $ 2\pi $):
$ \cos(5\pi + \alpha) = \cos(4\pi + \pi + \alpha) = \cos(\pi + \alpha) $.
По формуле приведения, угол $ \pi + \alpha $ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Функция не меняется.
$ \cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Возводим в куб: $ (-\cos(\alpha))^3 = -\cos^3(\alpha) $.
Ответ: $ -\cos^3(\alpha) $

з) Для выражения $ \operatorname{tg}^4(\alpha - \frac{9\pi}{2}) $ сначала упростим $ \operatorname{tg}(\alpha - \frac{9\pi}{2}) $.
$ \operatorname{tg}(\alpha - \frac{9\pi}{2}) = -\operatorname{tg}(\frac{9\pi}{2} - \alpha) $.
Используем периодичность тангенса (период $ \pi $). $ \frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2} $.
$ -\operatorname{tg}(\frac{9\pi}{2} - \alpha) = -\operatorname{tg}(4\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = -\operatorname{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) $.
По формуле приведения, $ \operatorname{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \operatorname{ctg}(\alpha) $.
Значит, $ \operatorname{tg}(\alpha - \frac{9\pi}{2}) = -\operatorname{ctg}(\alpha) $.
Возводим в четвертую степень: $ (-\operatorname{ctg}(\alpha))^4 = \operatorname{ctg}^4(\alpha) $.
Ответ: $ \operatorname{ctg}^4(\alpha) $

и) Для выражения $ \sin^5(\alpha - \frac{7\pi}{2}) $ сначала упростим $ \sin(\alpha - \frac{7\pi}{2}) $.
$ \sin(\alpha - \frac{7\pi}{2}) = -\sin(\frac{7\pi}{2} - \alpha) $.
Используем периодичность синуса (период $ 2\pi $). $ \frac{7\pi}{2} = \frac{4\pi+3\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2} $.
$ -\sin(\frac{7\pi}{2} - \alpha) = -\sin(2\pi + \frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $.
По формуле приведения для $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $: угол в третьей четверти, синус отрицателен, функция меняется на косинус.
$ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Подставляем обратно: $ -(-\cos(\alpha)) = \cos(\alpha) $.
Возводим в пятую степень: $ (\cos(\alpha))^5 = \cos^5(\alpha) $.
Ответ: $ \cos^5(\alpha) $