Номер 135, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

135. Докажите тождество $\frac{\text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \cos(2\pi - \alpha)}{\text{ctg}(\pi - \alpha)\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} = -\sin \alpha.$

Для доказательства тождества необходимо упростить его левую часть. Воспользуемся формулами приведения для каждого тригонометрического выражения.

Упростим выражения в числителе дроби:

• $tg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha)$, так как для угла $(\frac{\pi}{2} - \alpha)$, который находится в I четверти, тангенс положителен, а при наличии $\frac{\pi}{2}$ функция меняется на кофункцию.
• $cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -sin(\alpha)$, так как для угла $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ из III четверти косинус отрицателен, а при наличии $\frac{3\pi}{2}$ функция меняется на кофункцию.
• $cos(2\pi - \alpha) = cos(\alpha)$, так как для угла $(2\pi - \alpha)$ из IV четверти косинус положителен, а при наличии $2\pi$ функция не меняется.

Упростим выражения в знаменателе дроби:

• $ctg(\pi - \alpha) = -ctg(\alpha)$, так как для угла $(\pi - \alpha)$ из II четверти котангенс отрицателен, а при наличии $\pi$ функция не меняется.
• $sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -cos(\alpha)$, так как для угла $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ из IV четверти синус отрицателен, а при наличии $\frac{3\pi}{2}$ функция меняется на кофункцию.

Теперь подставим упрощенные выражения в левую часть тождества и выполним преобразование:

$\frac{tg(\frac{\pi}{2} - \alpha)cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)cos(2\pi - \alpha)}{ctg(\pi - \alpha)sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} = \frac{ctg(\alpha) \cdot (-sin(\alpha)) \cdot cos(\alpha)}{(-ctg(\alpha)) \cdot (-cos(\alpha))} = \frac{-ctg(\alpha) \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha)}{ctg(\alpha) \cdot cos(\alpha)}$

Сократим общие множители $ctg(\alpha)$ и $cos(\alpha)$ в числителе и знаменателе (при условии, что они не равны нулю, что следует из области определения исходного выражения):

$\frac{- \cancel{ctg(\alpha)} \cdot sin(\alpha) \cdot \cancel{cos(\alpha)}}{\cancel{ctg(\alpha)} \cdot \cancel{cos(\alpha)}} = -sin(\alpha)$

В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой части: $-sin(\alpha) = -sin(\alpha)$.

Ответ: тождество доказано.