Номер 154, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

154. Представьте в виде корня n-й степени выражение:

а) $\sqrt[5]{\sqrt[5]{a}}$;

б) $\sqrt[3]{\sqrt{a}};

в) $\sqrt{\sqrt[7]{a^2}};

г) $\sqrt[5]{\sqrt[4]{a^{10}}};

д) $\sqrt[5]{\sqrt[4]{a^3} \cdot \sqrt{a}};

е) $\sqrt[6]{\sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{a}}.$

а)

Для того чтобы представить выражение $\sqrt[5]{\sqrt[5]{a}}$ в виде корня n-й степени, воспользуемся свойством корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[k]{b}} = \sqrt[m \cdot k]{b}$.

В нашем случае $m=5$ и $k=5$.

$\sqrt[5]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[5 \cdot 5]{a} = \sqrt[25]{a}$.

Ответ: $\sqrt[25]{a}$

б)

Применим то же свойство корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[k]{b}} = \sqrt[m \cdot k]{b}$. Учтем, что квадратный корень $\sqrt{a}$ имеет показатель 2, то есть $\sqrt{a} = \sqrt[2]{a}$.

В нашем случае $m=3$ и $k=2$.

$\sqrt[3]{\sqrt{a}} = \sqrt[3]{\sqrt[2]{a}} = \sqrt[3 \cdot 2]{a} = \sqrt[6]{a}$.

Ответ: $\sqrt[6]{a}$

в)

Сначала используем свойство корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[k]{b}} = \sqrt[m \cdot k]{b}$. Внешний корень — квадратный, его показатель равен 2.

$\sqrt{\sqrt[7]{a^2}} = \sqrt[2]{\sqrt[7]{a^2}} = \sqrt[2 \cdot 7]{a^2} = \sqrt[14]{a^2}$.

Теперь упростим полученный корень, используя свойство $\sqrt[nk]{b^{mk}} = \sqrt[n]{b^m}$. Мы можем разделить показатель корня и показатель подкоренного выражения на их общий делитель.

В выражении $\sqrt[14]{a^2}$ общий делитель для 14 и 2 это 2.

$\sqrt[14]{a^2} = \sqrt[7 \cdot 2]{a^{1 \cdot 2}} = \sqrt[7]{a}$.

Ответ: $\sqrt[7]{a}$

г)

Применяем свойство корня из корня $\sqrt[m]{\sqrt[k]{b}} = \sqrt[m \cdot k]{b}$.

$\sqrt[5]{\sqrt[4]{a^{10}}} = \sqrt[5 \cdot 4]{a^{10}} = \sqrt[20]{a^{10}}$.

Упростим результат, разделив показатель корня 20 и показатель степени подкоренного выражения 10 на их общий делитель 10.

$\sqrt[20]{a^{10}} = \sqrt[2 \cdot 10]{a^{1 \cdot 10}} = \sqrt[2]{a} = \sqrt{a}$.

Ответ: $\sqrt{a}$

д)

Сначала преобразуем выражение под внешним корнем $\sqrt[4]{a^3} \cdot \sqrt{a}$. Для умножения корней их нужно привести к одному показателю. Наименьший общий показатель для 4 и 2 (квадратный корень) это 4.

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a} = \sqrt[2 \cdot 2]{a^{1 \cdot 2}} = \sqrt[4]{a^2}$.

Теперь умножим корни с одинаковым показателем:

$\sqrt[4]{a^3} \cdot \sqrt[4]{a^2} = \sqrt[4]{a^3 \cdot a^2} = \sqrt[4]{a^{3+2}} = \sqrt[4]{a^5}$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$\sqrt[5]{\sqrt[4]{a^5}}$.

Используем свойство корня из корня:

$\sqrt[5 \cdot 4]{a^5} = \sqrt[20]{a^5}$.

Упростим, разделив показатель корня 20 и показатель степени 5 на их общий делитель 5.

$\sqrt[20]{a^5} = \sqrt[4 \cdot 5]{a^{1 \cdot 5}} = \sqrt[4]{a}$.

Ответ: $\sqrt[4]{a}$

е)

Это выражение является произведением двух корней. Упростим каждый из них по отдельности, используя свойство $\sqrt[m]{\sqrt[k]{b}} = \sqrt[m \cdot k]{b}$.

Первый множитель: $\sqrt[6]{\sqrt[4]{a}} = \sqrt[6 \cdot 4]{a} = \sqrt[24]{a}$.

Второй множитель (помним, что внешний корень - квадратный): $\sqrt{\sqrt[4]{a}} = \sqrt[2]{\sqrt[4]{a}} = \sqrt[2 \cdot 4]{a} = \sqrt[8]{a}$.

Теперь перемножим полученные результаты: $\sqrt[24]{a} \cdot \sqrt[8]{a}$.

Приведем корни к общему показателю. Наименьший общий показатель для 24 и 8 это 24.

$\sqrt[8]{a} = \sqrt[8 \cdot 3]{a^{1 \cdot 3}} = \sqrt[24]{a^3}$.

Выполним умножение:

$\sqrt[24]{a} \cdot \sqrt[24]{a^3} = \sqrt[24]{a^1 \cdot a^3} = \sqrt[24]{a^{1+3}} = \sqrt[24]{a^4}$.

Упростим, разделив показатель корня 24 и показатель степени 4 на их общий делитель 4.

$\sqrt[24]{a^4} = \sqrt[6 \cdot 4]{a^{1 \cdot 4}} = \sqrt[6]{a}$.

Ответ: $\sqrt[6]{a}$