Номер 158, страница 185 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

158. Сократите дробь $\frac{b^{\frac{7}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{5b^{\frac{4}{3}}}$ и вычислите ее значение при $b = 4$.

Для решения задачи сначала выполним сокращение дроби, а затем вычислим ее значение.

Исходное выражение:

$$ \frac{\frac{7}{b^3} - \frac{1}{b^3}}{\frac{4}{5b^3}} $$

1. Упрощение числителя. Выполним вычитание в числителе. Так как знаменатели у дробей одинаковые, мы можем вычесть их числители:

$$ \frac{7}{b^3} - \frac{1}{b^3} = \frac{7-1}{b^3} = \frac{6}{b^3} $$

2. Упрощение всей дроби. Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$$ \frac{\frac{6}{b^3}}{\frac{4}{5b^3}} $$

Чтобы разделить одну дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (то есть "перевернуть" знаменатель):

$$ \frac{6}{b^3} \cdot \frac{5b^3}{4} $$

Теперь мы можем сократить общий множитель $b^3$, так как по условию $b=4$, а значит $b \ne 0$:

$$ \frac{6 \cdot 5 \cdot b^3}{4 \cdot b^3} = \frac{6 \cdot 5}{4} = \frac{30}{4} $$

Сократим полученную числовую дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$$ \frac{30}{4} = \frac{15}{2} $$

Таким образом, в результате сокращения мы получили число $ \frac{15}{2} $.

3. Вычисление значения при $b = 4$.

Поскольку после сокращения дроби получилось числовое значение, не зависящее от переменной $b$, то при любом допустимом значении $b$ (включая $b=4$) результат будет одинаковым.

Значение выражения равно $ \frac{15}{2} $, что в виде десятичной дроби составляет $7.5$.

Ответ: $\frac{15}{2}$ или $7.5$.