Номер 159, страница 185 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

159. Примените формулы сокращенного умножения и упростите выражение:

a) $(4a^{\frac{1}{2}} - 3b^{\frac{1}{2}})(4a^{\frac{1}{2}} + 3b^{\frac{1}{2}}) - 16a;$

б) $(a^{\frac{1}{4}} + 5a^{\frac{3}{2}})^2 - \sqrt{a - 25a^3}.$

а) Упростим выражение $(4a^{\frac{1}{2}} - 3b^{\frac{1}{2}})(4a^{\frac{1}{2}} + 3b^{\frac{1}{2}}) - 16a$. Первая часть выражения, $(4a^{\frac{1}{2}} - 3b^{\frac{1}{2}})(4a^{\frac{1}{2}} + 3b^{\frac{1}{2}})$, соответствует формуле разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. В данном случае $x = 4a^{\frac{1}{2}}$ и $y = 3b^{\frac{1}{2}}$. Применяем формулу:
$(4a^{\frac{1}{2}})^2 - (3b^{\frac{1}{2}})^2 = 16 \cdot (a^{\frac{1}{2}})^2 - 9 \cdot (b^{\frac{1}{2}})^2 = 16a^{2 \cdot \frac{1}{2}} - 9b^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 16a - 9b$.
Теперь подставим это в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:
$(16a - 9b) - 16a = 16a - 9b - 16a = -9b$.
Ответ: $-9b$.

б) Упростим выражение $(a^{\frac{1}{4}} + 5a^{\frac{3}{2}})^2 - \sqrt{a} - 25a^3$. Первый член выражения, $(a^{\frac{1}{4}} + 5a^{\frac{3}{2}})^2$, раскрывается по формуле квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В данном случае $x = a^{\frac{1}{4}}$ и $y = 5a^{\frac{3}{2}}$. Раскроем скобки, используя формулу:
$(a^{\frac{1}{4}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{4}} \cdot 5a^{\frac{3}{2}} + (5a^{\frac{3}{2}})^2 = a^{2 \cdot \frac{1}{4}} + 10a^{\frac{1}{4} + \frac{3}{2}} + 25a^{2 \cdot \frac{3}{2}} = a^{\frac{1}{2}} + 10a^{\frac{1}{4} + \frac{6}{4}} + 25a^3 = a^{\frac{1}{2}} + 10a^{\frac{7}{4}} + 25a^3$.
Подставим полученное выражение в исходное, учитывая, что $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$:
$(a^{\frac{1}{2}} + 10a^{\frac{7}{4}} + 25a^3) - a^{\frac{1}{2}} - 25a^3$.
Приведем подобные слагаемые:
$(a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}) + (25a^3 - 25a^3) + 10a^{\frac{7}{4}} = 10a^{\frac{7}{4}}$.
Ответ: $10a^{\frac{7}{4}}$.