Номер 162, страница 185 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

162. Воспользуйтесь свойствами степени с действительным показателем и выполните действия:

а) $a^{\sqrt{2}} \cdot a^{1-\sqrt{2}}$;

б) $a^{\sqrt{5}+2} : a^{\sqrt{5}-1}$;

в) $(a^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}} : a^2$;

г) $(a^{\sqrt{5}-\sqrt{3}})^{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$.

а) Для упрощения выражения $a^{\sqrt{2}} \cdot a^{1-\sqrt{2}}$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Применяя это свойство, получаем:

$a^{\sqrt{2}} \cdot a^{1-\sqrt{2}} = a^{\sqrt{2} + (1-\sqrt{2})}$

Сложим показатели степени:

$\sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} = 1$

Таким образом, выражение упрощается до:

$a^1 = a$

Ответ: $a$.

б) Для упрощения выражения $a^{\sqrt{5}+2} : a^{\sqrt{5}-1}$ воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $x^m : x^n = x^{m-n}$.

Применяя это свойство, получаем:

$a^{\sqrt{5}+2} : a^{\sqrt{5}-1} = a^{(\sqrt{5}+2) - (\sqrt{5}-1)}$

Вычтем показатели степени, раскрывая скобки:

$(\sqrt{5}+2) - (\sqrt{5}-1) = \sqrt{5} + 2 - \sqrt{5} + 1 = 3$

Таким образом, выражение упрощается до:

$a^3$

Ответ: $a^3$.

в) Выражение $(a^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}} : a^2$ содержит два действия. Сначала упростим $(a^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$, используя свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

$(a^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}} = a^{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = a^{(\sqrt{3})^2} = a^3$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$a^3 : a^2$

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием:

$a^3 : a^2 = a^{3-2} = a^1 = a$

Ответ: $a$.

г) Для упрощения выражения $(a^{\sqrt{5}-\sqrt{3}})^{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

$(a^{\sqrt{5}-\sqrt{3}})^{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = a^{(\sqrt{5}-\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{3})}$

Показатель степени является произведением разности и суммы двух чисел, что соответствует формуле разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Применим эту формулу к показателю:

$(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$

Таким образом, выражение упрощается до:

$a^2$

Ответ: $a^2$.