Номер 164, страница 185 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

164. Найдите значение выражения:

a) $\log_a (a^2b)$, если известно, что $\log_a b = 5$;

б) $\log_b \frac{\sqrt{a}}{b}$, если известно, что $\log_b a = 7$.

а) Для нахождения значения выражения $\log_a(a^2b)$ воспользуемся свойствами логарифмов: логарифмом произведения и логарифмом степени.
Логарифм произведения равен сумме логарифмов: $\log_c(xy) = \log_c x + \log_c y$.
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени: $\log_c(x^p) = p \log_c x$.
Также используем основное свойство: $\log_a a = 1$.
Применим эти свойства к нашему выражению:
$\log_a(a^2b) = \log_a(a^2) + \log_a b = 2\log_a a + \log_a b$
Теперь подставим известные значения. Нам дано, что $\log_a b = 5$, а $\log_a a = 1$.
$2\log_a a + \log_a b = 2 \cdot 1 + 5 = 2 + 5 = 7$
Ответ: 7

б) Для нахождения значения выражения $\log_b \frac{\sqrt{a}}{b}$ воспользуемся свойствами логарифмов: логарифмом частного и логарифмом корня.
Логарифм частного равен разности логарифмов: $\log_c \frac{x}{y} = \log_c x - \log_c y$.
Корень можно представить в виде степени: $\sqrt{a} = a^{1/2}$. Тогда логарифм корня можно найти как логарифм степени: $\log_c(a^{1/2}) = \frac{1}{2}\log_c a$.
Также используем свойство $\log_b b = 1$.
Применим эти свойства к нашему выражению:
$\log_b \frac{\sqrt{a}}{b} = \log_b(\sqrt{a}) - \log_b b = \log_b(a^{1/2}) - \log_b b = \frac{1}{2}\log_b a - \log_b b$
Теперь подставим известные значения. Нам дано, что $\log_b a = 7$, а $\log_b b = 1$.
$\frac{1}{2}\log_b a - \log_b b = \frac{1}{2} \cdot 7 - 1 = \frac{7}{2} - 1 = 3.5 - 1 = 2.5$
Ответ: 2,5