Номер 166, страница 185 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

166. Известно, что $ \lg a = b $. Выразите через $ b $ значение выражения:

а) $ \lg(100a) $;

б) $ \lg(\sqrt{10a}) $;

в) $ \lg\left(\frac{a}{1000}\right) $;

г) $ \lg(0,0001a) $.

а) Для решения воспользуемся свойством логарифма произведения: $ \lg(xy) = \lg x + \lg y $.
$ \lg(100a) = \lg(100) + \lg(a) $.
Десятичный логарифм числа 100 равен 2, так как $ 10^2 = 100 $. Следовательно, $ \lg(100) = 2 $.
По условию задачи дано, что $ \lg(a) = b $.
Теперь подставим известные значения в выражение:
$ \lg(100a) = 2 + b $.
Ответ: $ b + 2 $.

б) Для решения используем свойство логарифма степени $ \lg(x^p) = p \lg x $ и свойство логарифма произведения $ \lg(xy) = \lg x + \lg y $.
Сначала представим корень как степень с показателем $ \frac{1}{2} $: $ \sqrt{10a} = (10a)^{1/2} $.
Применим свойство логарифма степени:
$ \lg(\sqrt{10a}) = \lg((10a)^{1/2}) = \frac{1}{2} \lg(10a) $.
Далее применяем свойство логарифма произведения:
$ \frac{1}{2} \lg(10a) = \frac{1}{2} (\lg(10) + \lg(a)) $.
Десятичный логарифм числа 10 равен 1 ($ \lg(10) = 1 $), а по условию $ \lg(a) = b $.
Подставим эти значения:
$ \frac{1}{2} (1 + b) $.
Ответ: $ \frac{b+1}{2} $.

в) Для решения воспользуемся свойством логарифма частного: $ \lg(\frac{x}{y}) = \lg x - \lg y $.
$ \lg(\frac{a}{1000}) = \lg(a) - \lg(1000) $.
Десятичный логарифм числа 1000 равен 3, так как $ 10^3 = 1000 $. Следовательно, $ \lg(1000) = 3 $.
По условию $ \lg(a) = b $.
Подставим известные значения в выражение:
$ \lg(\frac{a}{1000}) = b - 3 $.
Ответ: $ b - 3 $.

г) Для решения воспользуемся свойством логарифма произведения: $ \lg(xy) = \lg x + \lg y $.
$ \lg(0,0001a) = \lg(0,0001) + \lg(a) $.
Представим десятичную дробь 0,0001 в виде степени числа 10: $ 0,0001 = 10^{-4} $.
Десятичный логарифм от $ 10^{-4} $ равен -4. Таким образом, $ \lg(0,0001) = -4 $.
По условию $ \lg(a) = b $.
Подставим известные значения в выражение:
$ \lg(0,0001a) = -4 + b $.
Ответ: $ b - 4 $.