Номер 173, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

173. Упростите выражение:

a) $\sin(270^\circ - \alpha) + \cos(270^\circ + \alpha)$;

б) $\operatorname{ctg}(\alpha - 270^\circ) - \operatorname{tg}(540^\circ - \alpha)$.

а) Для упрощения выражения $ \sin(270^\circ - \alpha) + \cos(270^\circ + \alpha) $ воспользуемся формулами приведения.

1. Упростим $ \sin(270^\circ - \alpha) $:

• Так как угол равен $ 270^\circ $, синус меняется на косинус.
• Угол $ 270^\circ - \alpha $ находится в III четверти, где синус отрицателен.
• Следовательно, $ \sin(270^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha) $.

2. Упростим $ \cos(270^\circ + \alpha) $:

• Так как угол равен $ 270^\circ $, косинус меняется на синус.
• Угол $ 270^\circ + \alpha $ находится в IV четверти, где косинус положителен.
• Следовательно, $ \cos(270^\circ + \alpha) = \sin(\alpha) $.

3. Подставим упрощенные выражения в исходное:

$ \sin(270^\circ - \alpha) + \cos(270^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha) + \sin(\alpha) = \sin(\alpha) - \cos(\alpha) $.

Ответ: $ \sin(\alpha) - \cos(\alpha) $

б) Для упрощения выражения $ \mathrm{ctg}(\alpha - 270^\circ) - \mathrm{tg}(540^\circ - \alpha) $ также воспользуемся свойствами тригонометрических функций и формулами приведения.

1. Упростим $ \mathrm{ctg}(\alpha - 270^\circ) $:

• Воспользуемся свойством нечетности котангенса, вынеся минус за скобки: $ \mathrm{ctg}(\alpha - 270^\circ) = \mathrm{ctg}(-(270^\circ - \alpha)) = -\mathrm{ctg}(270^\circ - \alpha) $.
• Применим формулу приведения для $ \mathrm{ctg}(270^\circ - \alpha) $: так как угол равен $ 270^\circ $, котангенс меняется на тангенс.
• Угол $ 270^\circ - \alpha $ находится в III четверти, где котангенс положителен.
• Значит, $ \mathrm{ctg}(270^\circ - \alpha) = \mathrm{tg}(\alpha) $.
• Следовательно, $ -\mathrm{ctg}(270^\circ - \alpha) = -\mathrm{tg}(\alpha) $.

2. Упростим $ \mathrm{tg}(540^\circ - \alpha) $:

• Период тангенса равен $ 180^\circ $. Уберем из угла целое число периодов: $ 540^\circ = 3 \cdot 180^\circ $.
• $ \mathrm{tg}(540^\circ - \alpha) = \mathrm{tg}(3 \cdot 180^\circ - \alpha) = \mathrm{tg}(-\alpha) $.
• Воспользуемся свойством нечетности тангенса: $ \mathrm{tg}(-\alpha) = -\mathrm{tg}(\alpha) $.

3. Подставим упрощенные выражения в исходное:

$ \mathrm{ctg}(\alpha - 270^\circ) - \mathrm{tg}(540^\circ - \alpha) = -\mathrm{tg}(\alpha) - (-\mathrm{tg}(\alpha)) = -\mathrm{tg}(\alpha) + \mathrm{tg}(\alpha) = 0 $.

Ответ: $ 0 $