Номер 172, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

172. С помощью формул приведения преобразуйте к тригонометрической функции угла α выражение:

a) $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$;

б) $tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$;

в) $sin^2(2\pi - \alpha)$;

г) $ctg(\alpha - \frac{5\pi}{2})$.

а) Для преобразования выражения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ воспользуемся формулами приведения.

1. Так как в аргументе функции присутствует $\frac{\pi}{2}$ (опорный угол на вертикальной оси), функция $\cos$ меняется на кофункцию $\sin$.

2. Определим знак. Если считать $\alpha$ острым углом, то угол $(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ находится в I четверти. В этой четверти исходная функция $\cos$ имеет знак «+».

Таким образом, $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha)$.

Ответ: $\sin(\alpha)$

б) Преобразуем выражение $\text{tg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$.

1. Так как в аргументе функции присутствует $\frac{3\pi}{2}$ (опорный угол на вертикальной оси), функция $\text{tg}$ меняется на кофункцию $\text{ctg}$.

2. Определим знак. Угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в IV четверти. В этой четверти исходная функция $\text{tg}$ имеет знак «–».

Таким образом, $\text{tg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$.

Ответ: $-\text{ctg}(\alpha)$

в) Преобразуем выражение $\sin^2(2\pi - \alpha)$, которое равно $(\sin(2\pi - \alpha))^2$.

Сначала упростим $\sin(2\pi - \alpha)$ по формулам приведения.

1. Так как в аргументе функции присутствует $2\pi$ (опорный угол на горизонтальной оси), функция $\sin$ не меняется.

2. Определим знак. Угол $(2\pi - \alpha)$ находится в IV четверти. В этой четверти исходная функция $\sin$ имеет знак «–».

Следовательно, $\sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha)$.

Теперь возводим полученное выражение в квадрат:

$\sin^2(2\pi - \alpha) = (-\sin(\alpha))^2 = \sin^2(\alpha)$.

Ответ: $\sin^2(\alpha)$

г) Преобразуем выражение $\text{ctg}(\alpha - \frac{5\pi}{2})$.

Воспользуемся периодичностью функции котангенс. Ее период равен $\pi$. Мы можем прибавить к аргументу любое число, кратное $\pi$. Прибавим $3\pi = \frac{6\pi}{2}$, чтобы получить удобный для приведения вид:

$\text{ctg}(\alpha - \frac{5\pi}{2}) = \text{ctg}(\alpha - \frac{5\pi}{2} + 3\pi) = \text{ctg}(\alpha + \frac{-5\pi + 6\pi}{2}) = \text{ctg}(\alpha + \frac{\pi}{2})$.

Теперь применим формулу приведения к выражению $\text{ctg}(\frac{\pi}{2} + \alpha)$.

1. Так как в аргументе присутствует $\frac{\pi}{2}$, функция $\text{ctg}$ меняется на кофункцию $\text{tg}$.

2. Определим знак. Угол $(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ находится во II четверти. В этой четверти исходная функция $\text{ctg}$ имеет знак «–».

Таким образом, $\text{ctg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\text{tg}(\alpha)$.

Ответ: $-\text{tg}(\alpha)$