Номер 167, страница 185 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

167. Найдите значение выражения $log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}$, если известно, что $log_b a = \sqrt{3}$.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $ \log_{c} d = \frac{\log_{b} d}{\log_{b} c} $. В качестве нового основания $b$ выберем основание из условия $ \log_{b} a = \sqrt{3} $.

Преобразуем исходное выражение:

$$ \log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\log_b \left( \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}} \right)}{\log_b \left( \frac{\sqrt{a}}{b} \right)} $$

Теперь упростим числитель и знаменатель дроби, используя свойства логарифмов: $ \log_b(x/y) = \log_b x - \log_b y $ и $ \log_b(x^p) = p \log_b x $.

Упростим числитель:

$$ \log_b \left( \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}} \right) = \log_b(\sqrt[3]{a}) - \log_b(\sqrt{b}) = \log_b(a^{1/3}) - \log_b(b^{1/2}) = \frac{1}{3}\log_b a - \frac{1}{2}\log_b b $$

Так как $ \log_b b = 1 $, числитель равен:

$$ \frac{1}{3}\log_b a - \frac{1}{2} $$

Упростим знаменатель:

$$ \log_b \left( \frac{\sqrt{a}}{b} \right) = \log_b(\sqrt{a}) - \log_b b = \log_b(a^{1/2}) - 1 = \frac{1}{2}\log_b a - 1 $$

Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$$ \frac{\frac{1}{3}\log_b a - \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\log_b a - 1} $$

Теперь подставим известное значение $ \log_b a = \sqrt{3} $:

$$ \frac{\frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} - \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} - 1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} - 1} $$

Приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю:

$$ \frac{\frac{2\sqrt{3} - 3}{6}}{\frac{\sqrt{3} - 2}{2}} $$

Разделим дроби:

$$ \frac{2\sqrt{3} - 3}{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{3} - 2} = \frac{2(2\sqrt{3} - 3)}{6(\sqrt{3} - 2)} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{3(\sqrt{3} - 2)} $$

Для дальнейшего упрощения вынесем $ \sqrt{3} $ за скобки в числителе:

$$ 2\sqrt{3} - 3 = 2\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2 = \sqrt{3}(2 - \sqrt{3}) $$

Подставим это в дробь:

$$ \frac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{3(\sqrt{3} - 2)} $$

Заметим, что $ (2 - \sqrt{3}) = -(\sqrt{3} - 2) $. Сократим дробь:

$$ \frac{\sqrt{3} \cdot (-1) \cdot (\sqrt{3} - 2)}{3(\sqrt{3} - 2)} = -\frac{\sqrt{3}}{3} $$

Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $