Номер 174, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

174. Найдите значение выражения

$\operatorname{tg}^2 (\alpha - 2\pi) \cdot \sin^2 (\alpha - 1.5\pi) + \cos^2 (2\pi + \alpha).$

Для нахождения значения выражения необходимо упростить каждый из его компонентов, используя формулы приведения и свойства периодичности тригонометрических функций. Рассмотрим каждый член выражения по отдельности.

Исходное выражение: $ \text{tg}^2(\alpha - 2\pi) \cdot \sin^2(\alpha - 1,5\pi) + \cos^2(2\pi + \alpha) $.

1. Упростим первый множитель $ \text{tg}^2(\alpha - 2\pi) $.

Функция тангенс является периодической с основным периодом $ \pi $. Это означает, что $ \text{tg}(x + k\pi) = \text{tg}(x) $ для любого целого $ k $. В данном случае $ k = -2 $.

$ \text{tg}(\alpha - 2\pi) = \text{tg}(\alpha) $

Следовательно, возводя в квадрат, получаем:

$ \text{tg}^2(\alpha - 2\pi) = \text{tg}^2(\alpha) $

2. Упростим второй множитель $ \sin^2(\alpha - 1,5\pi) $.

Представим $ 1,5\pi $ как $ \frac{3\pi}{2} $. Выражение под знаком синуса: $ \alpha - \frac{3\pi}{2} $. Воспользуемся формулами приведения. Сначала вынесем минус за скобки, используя свойство нечетности синуса $ \sin(-x) = -\sin(x) $:

$ \sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \sin(-(\frac{3\pi}{2} - \alpha)) = -\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $

По формуле приведения $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha) $, так как для угла $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ (III четверть) синус отрицателен, и функция меняется на кофункцию.

Таким образом: $ \sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = -(-\cos(\alpha)) = \cos(\alpha) $.

Возводя в квадрат, получаем:

$ \sin^2(\alpha - 1,5\pi) = \cos^2(\alpha) $

3. Упростим слагаемое $ \cos^2(2\pi + \alpha) $.

Функция косинус является периодической с основным периодом $ 2\pi $. Это означает, что $ \cos(x + 2k\pi) = \cos(x) $ для любого целого $ k $. В данном случае $ k = 1 $.

$ \cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha) $

Следовательно, возводя в квадрат, получаем:

$ \cos^2(2\pi + \alpha) = \cos^2(\alpha) $

4. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение.

$ \text{tg}^2(\alpha) \cdot \cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) $

Используем определение тангенса $ \text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $, откуда $ \text{tg}^2(\alpha) = \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} $.

$ \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} \cdot \cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) $

Сократим $ \cos^2(\alpha) $ в первом слагаемом (это действие корректно, так как область определения $ \text{tg}(\alpha) $ исключает значения, где $ \cos(\alpha)=0 $).

$ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) $

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $.

Ответ: 1