Номер 175, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

175. Докажите тождество $\frac{\sin(\pi - \alpha)}{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)} - \frac{\text{tg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{\text{ctg}(\pi - \alpha)} + \text{tg}(\pi + \alpha) = -1.$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, используя формулы приведения для тригонометрических функций.

Левая часть тождества имеет вид:

$$ \frac{\sin(\pi - \alpha)}{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)} - \frac{\text{tg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{\text{ctg}(\pi - \alpha)} + \text{tg}(\pi + \alpha) $$

Упростим последовательно каждый член выражения.

Первый член: $ \frac{\sin(\pi - \alpha)}{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)} $

Применяем формулы приведения:

$ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $ (так как угол $ \pi - \alpha $ находится во второй четверти, где синус положителен, а основная функция сохраняется).

$ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha) $ (так как угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в третьей четверти, где синус отрицателен, а функция меняется на кофункцию).

Следовательно, первый член равен:

$$ \frac{\sin(\alpha)}{-\cos(\alpha)} = -\text{tg}(\alpha) $$

Второй член: $ \frac{\text{tg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{\text{ctg}(\pi - \alpha)} $

Применяем формулы приведения:

$ \text{tg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $ (так как угол $ \frac{3\pi}{2} + \alpha $ находится в четвертой четверти, где тангенс отрицателен, а функция меняется на кофункцию).

$ \text{ctg}(\pi - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $ (так как угол $ \pi - \alpha $ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен, а основная функция сохраняется).

Следовательно, второй член равен:

$$ \frac{-\text{ctg}(\alpha)}{-\text{ctg}(\alpha)} = 1 $$

Третий член: $ \text{tg}(\pi + \alpha) $

Применяем формулу приведения:

$ \text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg}(\alpha) $ (так как угол $ \pi + \alpha $ находится в третьей четверти, где тангенс положителен, а основная функция сохраняется).

Итоговое преобразование

Теперь подставим упрощенные выражения в левую часть исходного тождества, учитывая знаки между членами:

$$ (-\text{tg}(\alpha)) - (1) + (\text{tg}(\alpha)) $$

Выполним сложение и вычитание:

$$ -\text{tg}(\alpha) - 1 + \text{tg}(\alpha) = -1 $$

Мы получили, что левая часть тождества равна -1, что соответствует правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.