Номер 171, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

Для доказательства тождества $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^4 \alpha = 1$ преобразуем его левую часть.

Сгруппируем второе и третье слагаемые и вынесем общий множитель $\sin^2 \alpha$ за скобки:

$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Подставим это значение в выражение в скобках:

$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cdot 1 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha$

Еще раз применяя основное тригонометрическое тождество, получаем:

$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$

Мы получили, что левая часть тождества равна 1, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

Для доказательства тождества $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot \text{ctg}^2 \alpha = \text{ctg}^2 \alpha$ преобразуем его левую часть.

Вынесем общий множитель $\cos^2 \alpha$ за скобки:

$\cos^2 \alpha(1 + \text{ctg}^2 \alpha)$

Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$. Подставим его в наше выражение:

$\cos^2 \alpha \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

Запишем полученное выражение в виде дроби:

$\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$

По определению котангенса $\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, следовательно, $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \text{ctg}^2 \alpha$.

Мы получили, что левая часть тождества равна $\text{ctg}^2 \alpha$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.