Номер 153, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

153. Представьте выражение $\sqrt[4]{b}$ в виде корня:

а) восьмой степени;

б) двенадцатой степени;

в) шестнадцатой степени.

Для преобразования корня используется основное свойство корня: для любого натурального числа $k$ и любых $n$ и $m$, при которых выражение имеет смысл, верна формула $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[nk]{a^{mk}}$. Исходное выражение можно записать как $\sqrt[4]{b^1}$.

а) восьмой степени

Чтобы представить корень четвертой степени в виде корня восьмой степени, необходимо показатель корня (4) умножить на такое число, чтобы получилось 8. Это число 2, так как $4 \cdot 2 = 8$. Согласно свойству корня, мы должны также возвести подкоренное выражение в эту же степень, то есть в степень 2.

$\sqrt[4]{b} = \sqrt[4]{b^1} = \sqrt[4 \cdot 2]{b^{1 \cdot 2}} = \sqrt[8]{b^2}$.

Ответ: $\sqrt[8]{b^2}$.

б) двенадцатой степени

Чтобы представить корень четвертой степени в виде корня двенадцатой степени, необходимо показатель корня умножить на 3, так как $4 \cdot 3 = 12$. Следовательно, подкоренное выражение нужно возвести в степень 3.

$\sqrt[4]{b} = \sqrt[4]{b^1} = \sqrt[4 \cdot 3]{b^{1 \cdot 3}} = \sqrt[12]{b^3}$.

Ответ: $\sqrt[12]{b^3}$.

в) шестнадцатой степени

Чтобы представить корень четвертой степени в виде корня шестнадцатой степени, необходимо показатель корня умножить на 4, так как $4 \cdot 4 = 16$. Следовательно, подкоренное выражение нужно возвести в степень 4.

$\sqrt[4]{b} = \sqrt[4]{b^1} = \sqrt[4 \cdot 4]{b^{1 \cdot 4}} = \sqrt[16]{b^4}$.

Ответ: $\sqrt[16]{b^4}$.