Номер 188, страница 187 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

188. Представьте в виде корня n-й степени выражение:

а) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{b}}$;

б) $\sqrt[5]{\sqrt{b}}$;

в) $\sqrt{\sqrt[9]{b^2}}$;

г) $\sqrt[3]{\sqrt[10]{b^{15}}}$.

а) Чтобы представить выражение $\sqrt[3]{\sqrt[3]{b}}$ в виде одного корня, воспользуемся свойством "корень из корня": $\sqrt[m]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[m \cdot k]{a}$. В данном случае показатели корней $m=3$ и $k=3$.

Применяя это свойство, получаем:

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3 \cdot 3]{b} = \sqrt[9]{b}$.

Другой способ — через степени с рациональным показателем, используя формулу $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$:

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{b^{\frac{1}{3}}} = (b^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{b}$.

Ответ: $\sqrt[9]{b}$.

б) Для выражения $\sqrt[5]{\sqrt{b}}$ используем то же свойство $\sqrt[m]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[m \cdot k]{a}$. Здесь показатель внешнего корня $m=5$, а показатель внутреннего корня $k=2$ (так как это квадратный корень).

$\sqrt[5]{\sqrt{b}} = \sqrt[5]{\sqrt[2]{b}} = \sqrt[5 \cdot 2]{b} = \sqrt[10]{b}$.

Через степени с рациональным показателем:

$\sqrt[5]{\sqrt{b}} = \sqrt[5]{b^{\frac{1}{2}}} = (b^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}} = b^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}} = b^{\frac{1}{10}} = \sqrt[10]{b}$.

Ответ: $\sqrt[10]{b}$.

в) В выражении $\sqrt{\sqrt[9]{b^2}}$ показатель внешнего корня (квадратного) $m=2$, а внутреннего $k=9$.

Используя свойство $\sqrt[m]{\sqrt[k]{a^p}} = \sqrt[m \cdot k]{a^p}$, получаем:

$\sqrt{\sqrt[9]{b^2}} = \sqrt[2 \cdot 9]{b^2} = \sqrt[18]{b^2}$.

Теперь можно упростить полученное выражение. Согласно свойству $\sqrt[nk]{a^{pk}} = \sqrt[n]{a^p}$, можно сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель. Общий делитель для 18 и 2 равен 2.

$\sqrt[18]{b^2} = \sqrt[9 \cdot 2]{b^{1 \cdot 2}} = \sqrt[9]{b^1} = \sqrt[9]{b}$.

Через степени:

$\sqrt{\sqrt[9]{b^2}} = (b^2)^{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2}} = b^{\frac{2}{18}} = b^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{b}$.

Ответ: $\sqrt[9]{b}$.

г) Для выражения $\sqrt[3]{\sqrt[10]{b^{15}}}$ показатели корней $m=3$ и $k=10$.

Применим свойство $\sqrt[m]{\sqrt[k]{a^p}} = \sqrt[m \cdot k]{a^p}$:

$\sqrt[3]{\sqrt[10]{b^{15}}} = \sqrt[3 \cdot 10]{b^{15}} = \sqrt[30]{b^{15}}$.

Упростим результат. Показатель корня 30 и показатель степени подкоренного выражения 15 имеют общий делитель 15.

$\sqrt[30]{b^{15}} = \sqrt[2 \cdot 15]{b^{1 \cdot 15}} = \sqrt[2]{b^1} = \sqrt{b}$.

Через степени:

$\sqrt[3]{\sqrt[10]{b^{15}}} = (b^{15})^{\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{3}} = b^{\frac{15}{30}} = b^{\frac{1}{2}} = \sqrt{b}$.

Ответ: $\sqrt{b}$.