Номер 194, страница 188 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

194. Сократите дробь:

а) $ \frac{a}{a - a^{\frac{1}{3}}} $;

б) $ \frac{a^{\frac{1}{2}} + 5}{a - 25} $;

В) $ \frac{x^{\frac{1}{4}} - 36}{x^{\frac{1}{4}} - 12x^{\frac{1}{8}} + 36} $.

а)

Исходная дробь: $\frac{a}{a - a^3}$.

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общие.

Знаменатель дроби $a - a^3$ можно упростить, вынеся общий множитель $a$ за скобки:

$a - a^3 = a(1 - a^2)$.

Выражение $1 - a^2$ является разностью квадратов и раскладывается по формуле $b^2 - c^2 = (b - c)(b + c)$:

$1 - a^2 = (1 - a)(1 + a)$.

Таким образом, знаменатель полностью разложен на множители: $a(1 - a)(1 + a)$.

Подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:

$\frac{a}{a(1 - a^2)}$.

Теперь мы можем сократить общий множитель $a$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq 0$):

$\frac{\cancel{a}}{\cancel{a}(1 - a^2)} = \frac{1}{1 - a^2}$.

Ответ: $\frac{1}{1 - a^2}$

б)

Дана составная (многоэтажная) дробь $\frac{\frac{1}{a^2} + 5}{a - 25}$.

Упрощение в данном случае заключается в приведении дроби к простому виду, то есть избавлении от дроби в числителе.

Сначала преобразуем числитель, приведя слагаемые к общему знаменателю $a^2$:

$\frac{1}{a^2} + 5 = \frac{1}{a^2} + \frac{5a^2}{a^2} = \frac{1 + 5a^2}{a^2}$.

Подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{\frac{1 + 5a^2}{a^2}}{a - 25}$.

Чтобы преобразовать составную дробь в простую, мы делим числитель на знаменатель:

$(\frac{1 + 5a^2}{a^2}) \div (a - 25) = \frac{1 + 5a^2}{a^2} \cdot \frac{1}{a - 25} = \frac{1 + 5a^2}{a^2(a - 25)}$.

В полученном выражении числитель $1 + 5a^2$ и знаменатель $a^2(a-25)$ не имеют общих множителей, поэтому дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: $\frac{1 + 5a^2}{a^2(a - 25)}$

в)

Дана составная дробь $\frac{\frac{1}{x^4}-36}{\frac{1}{x^4} - \frac{12}{x^8} + 36}$.

Для упрощения этой дроби избавимся от дробей в ее числителе и знаменателе. Для этого умножим и числитель, и знаменатель основной дроби на наименьший общий знаменатель внутренних дробей. В данном случае это $x^8$ (при $x \neq 0$).

Преобразуем числитель:

$(\frac{1}{x^4} - 36) \cdot x^8 = \frac{1}{x^4} \cdot x^8 - 36 \cdot x^8 = x^4 - 36x^8$.

Преобразуем знаменатель:

$(\frac{1}{x^4} - \frac{12}{x^8} + 36) \cdot x^8 = \frac{1}{x^4} \cdot x^8 - \frac{12}{x^8} \cdot x^8 + 36 \cdot x^8 = x^4 - 12 + 36x^8$.

Таким образом, исходная дробь равна:

$\frac{x^4 - 36x^8}{x^4 - 12 + 36x^8}$.

Проверим, можно ли сократить полученную дробь. Разложим числитель на множители:

$x^4 - 36x^8 = x^4(1 - 36x^4) = x^4(1^2 - (6x^2)^2) = x^4(1 - 6x^2)(1 + 6x^2)$.

Знаменатель $36x^8 + x^4 - 12$ является квадратным трехчленом относительно $y=x^4$: $36y^2 + y - 12$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 36 \cdot (-12) = 1 + 1728 = 1729$. Так как $1729$ не является точным квадратом, у трехчлена нет рациональных корней, и он не раскладывается на множители с рациональными коэффициентами. Следовательно, у числителя и знаменателя нет общих множителей для сокращения.

Ответ: $\frac{x^4 - 36x^8}{36x^8 + x^4 - 12}$