Номер 201, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

201. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} x + y = 3, \\ xy + x^2 = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + 2y = 4, \\ x^2 - 4y^2 = 0; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x - y = 1, \\ xy = 6; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} x + y = -8, \\ x^2 + y^2 + 6x + 2y = 0. \end{cases}$

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 3, \\ xy + x^2 = 3; \end{cases} $
Во втором уравнении вынесем общий множитель x за скобки: $x(y + x) = 3$.
Из первого уравнения известно, что $x + y = 3$. Подставим это значение во второе уравнение: $x \cdot 3 = 3$.
Отсюда находим значение x: $x = \frac{3}{3} = 1$.
Теперь подставим найденное значение x в первое уравнение, чтобы найти y: $1 + y = 3$.
$y = 3 - 1 = 2$.
Решением системы является пара чисел $(1; 2)$.
Ответ: $(1; 2)$.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + 2y = 4, \\ x^2 - 4y^2 = 0; \end{cases} $
Второе уравнение представляет собой разность квадратов. Разложим его на множители: $x^2 - (2y)^2 = 0$,
$(x - 2y)(x + 2y) = 0$.
Из первого уравнения системы нам известно, что $x + 2y = 4$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение: $(x - 2y) \cdot 4 = 0$.
Отсюда следует, что $x - 2y = 0$, или $x = 2y$.
Теперь подставим выражение $x = 2y$ в первое уравнение системы: $(2y) + 2y = 4$.
$4y = 4$.
$y = 1$.
Найдем соответствующее значение x: $x = 2y = 2 \cdot 1 = 2$.
Решением системы является пара чисел $(2; 1)$.
Ответ: $(2; 1)$.

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - y = 1, \\ xy = 6; \end{cases} $
Из первого уравнения выразим x через y: $x = 1 + y$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $(1 + y)y = 6$.
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $y + y^2 = 6$,
$y^2 + y - 6 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-6$. Корнями являются числа $2$ и $-3$.
$y_1 = 2$, $y_2 = -3$.
Теперь найдем соответствующие значения x для каждого корня:
1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 1 + 2 = 3$.
2. Если $y_2 = -3$, то $x_2 = 1 + (-3) = -2$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(3; 2)$ и $(-2; -3)$.

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = -8, \\ x^2 + y^2 + 6x + 2y = 0; \end{cases} $
Из первого уравнения выразим y через x: $y = -8 - x$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $x^2 + (-8 - x)^2 + 6x + 2(-8 - x) = 0$.
Раскроем скобки и упростим выражение: $x^2 + (64 + 16x + x^2) + 6x - 16 - 2x = 0$.
Приведем подобные слагаемые: $(x^2 + x^2) + (16x + 6x - 2x) + (64 - 16) = 0$.
$2x^2 + 20x + 48 = 0$.
Разделим все уравнение на 2, чтобы упростить его: $x^2 + 10x + 24 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-10$, а произведение равно $24$. Корнями являются числа $-4$ и $-6$.
$x_1 = -4$, $x_2 = -6$.
Теперь найдем соответствующие значения y для каждого корня:
1. Если $x_1 = -4$, то $y_1 = -8 - (-4) = -8 + 4 = -4$.
2. Если $x_2 = -6$, то $y_2 = -8 - (-6) = -8 + 6 = -2$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(-4; -4)$ и $(-6; -2)$.