Номер 197, страница 188 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

197. Найдите значение выражения:

a) $ \log_a (ab) $, если известно, что $ \log_a b = 2 $;

б) $ \log_b \frac{a}{\sqrt[3]{b}} $, если известно, что $ \log_b a = 5 $.

а) Для того чтобы найти значение выражения $log_a(ab)$, воспользуемся свойством логарифма произведения, которое гласит, что логарифм произведения равен сумме логарифмов: $log_c(xy) = log_c x + log_c y$.

Применив это свойство к нашему выражению, получим:
$log_a(ab) = log_a a + log_a b$.

Из определения логарифма известно, что $log_a a = 1$.
По условию задачи дано, что $log_a b = 2$.

Теперь подставим известные значения в полученное выражение:
$log_a(ab) = 1 + 2 = 3$.

Ответ: 3

б) Чтобы найти значение выражения $log_b \frac{a}{\sqrt[3]{b}}$, воспользуемся свойством логарифма частного: $log_c(\frac{x}{y}) = log_c x - log_c y$.

Применив это свойство, получаем:
$log_b \frac{a}{\sqrt[3]{b}} = log_b a - log_b \sqrt[3]{b}$.

По условию задачи известно, что $log_b a = 5$.
Теперь преобразуем вторую часть выражения, $log_b \sqrt[3]{b}$. Сначала представим корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}$.

Далее используем свойство логарифма степени $log_c(x^p) = p \cdot log_c x$:
$log_b \sqrt[3]{b} = log_b (b^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3} log_b b$.

Так как $log_b b = 1$, то $log_b \sqrt[3]{b} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$.

Подставим все известные значения в исходное разложенное выражение:
$log_b \frac{a}{\sqrt[3]{b}} = 5 - \frac{1}{3} = \frac{15}{3} - \frac{1}{3} = \frac{14}{3}$.

Ответ: $\frac{14}{3}$