Номер 190, страница 188 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

190. Представьте выражение в виде одночлена:

а) $ \sqrt[5]{x^5}; $

б) $ -5\sqrt[3]{8b^3}; $

в) $ 5c\sqrt[9]{-c^9}; $

г) $ -4a^6\sqrt[7]{-128a^7}. $

a) $\sqrt[5]{x^5}$

По определению корня нечетной степени, для любого действительного числа $a$ и нечетного натурального числа $n > 1$ справедливо равенство $\sqrt[n]{a^n} = a$. В данном выражении степень корня $n=5$ является нечетным числом.

Следовательно, мы можем упростить выражение:

$\sqrt[5]{x^5} = x$

Ответ: $x$.

б) $-5\sqrt[3]{8b^3}$

Для упрощения данного выражения сначала преобразуем подкоренное выражение. Число 8 можно представить как $2^3$.

Тогда $8b^3 = 2^3 \cdot b^3 = (2b)^3$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$-5\sqrt[3]{(2b)^3}$

Так как степень корня $n=3$ нечетная, $\sqrt[3]{(2b)^3} = 2b$.

Теперь умножим полученный результат на коэффициент $-5$:

$-5 \cdot 2b = -10b$

Ответ: $-10b$.

в) $5c\sqrt[9]{-c^9}$

Рассмотрим подкоренное выражение $-c^9$. Поскольку степень корня $n=9$ является нечетным числом, мы можем вынести знак минуса из-под корня или представить подкоренное выражение как степень.

$-c^9 = (-1) \cdot c^9 = (-1)^9 \cdot c^9 = (-c)^9$.

Выражение примет вид:

$5c\sqrt[9]{(-c)^9}$

Извлекая корень нечетной степени, получаем:

$\sqrt[9]{(-c)^9} = -c$

Теперь умножим результат на множитель $5c$, стоящий перед корнем:

$5c \cdot (-c) = -5c^2$

Ответ: $-5c^2$.

г) $-4a^6\sqrt[7]{-128a^7}$

Сначала упростим подкоренное выражение $-128a^7$.

Найдем число, седьмая степень которого равна -128. Мы знаем, что $2^7 = 128$. Так как степень нечетная, то $(-2)^7 = -128$.

Таким образом, $-128a^7 = (-2)^7 \cdot a^7 = (-2a)^7$.

Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$-4a^6\sqrt[7]{(-2a)^7}$

По свойству корня нечетной степени ($n=7$):

$\sqrt[7]{(-2a)^7} = -2a$

Наконец, умножим результат на одночлен перед корнем:

$-4a^6 \cdot (-2a) = (-4 \cdot -2) \cdot (a^6 \cdot a) = 8a^{6+1} = 8a^7$

Ответ: $8a^7$.