Номер 192, страница 188 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

192. Сократите дробь $ \frac{a^{\frac{8}{3}} + a^{\frac{2}{3}}}{4a^{\frac{5}{3}}} $ и вычислите ее значение при $ a = 4 $.

Сокращение дроби

Дана дробь:$$ \frac{a^{\frac{8}{3}}+a^{\frac{2}{3}}}{4a^{\frac{5}{3}}} $$Для её сокращения сначала упростим числитель. Вынесем за скобки общий множитель $a$ в наименьшей степени, то есть $a^{\frac{2}{3}}$:$$ a^{\frac{8}{3}}+a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{8}{3}-\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}-\frac{2}{3}}) $$Выполним вычитание в показателях степеней:$$ a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{6}{3}} + a^{0}) = a^{\frac{2}{3}}(a^2 + 1) $$Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:$$ \frac{a^{\frac{2}{3}}(a^2 + 1)}{4a^{\frac{5}{3}}} $$Сократим дробь, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$). Для этого разделим $a^{\frac{2}{3}}$ на $a^{\frac{5}{3}}$:$$ \frac{a^2 + 1}{4} \cdot \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{5}{3}}} = \frac{a^2 + 1}{4} \cdot a^{\frac{2}{3}-\frac{5}{3}} = \frac{a^2 + 1}{4} \cdot a^{-\frac{3}{3}} = \frac{a^2 + 1}{4} \cdot a^{-1} $$Поскольку $a^{-1} = \frac{1}{a}$, получаем окончательный вид сокращенной дроби:$$ \frac{a^2+1}{4a} $$Ответ: $\frac{a^2+1}{4a}$

Вычисление значения при $a = 4$

Теперь подставим значение $a=4$ в упрощенное выражение, полученное на предыдущем шаге:$$ \frac{a^2+1}{4a} = \frac{4^2+1}{4 \cdot 4} $$Выполним вычисления:$$ \frac{16+1}{16} = \frac{17}{16} $$Этот результат можно также представить в виде десятичной дроби: $17 \div 16 = 1.0625$. Ответ: $\frac{17}{16}$