Номер 199, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

199. Известно, что $lg\;a = b$. Выразите через $b$ значение выражения:

а) $lg(10a);$

б) $lg(\sqrt[4]{10a});$

в) $lg\frac{a}{100};$

г) $lg(0,001a).$

Для решения всех пунктов задачи будем использовать основное условие $\lg a = b$ и свойства логарифмов. Напомним, что $\lg x$ — это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10 ($\log_{10} x$), и $\lg 10 = 1$.

а)

Используем свойство логарифма произведения: $\log_c(xy) = \log_c(x) + \log_c(y)$.

$\lg(10a) = \lg(10) + \lg(a)$

По определению десятичного логарифма, $\lg(10) = 1$. По условию задачи, $\lg(a) = b$.

Подставляем эти значения в выражение:

$\lg(10a) = 1 + b$

Ответ: $1 + b$

б)

Сначала представим корень в виде степени. Корень четвертой степени эквивалентен возведению в степень $\frac{1}{4}$.

$\lg(\sqrt[4]{10a}) = \lg((10a)^{\frac{1}{4}})$

Теперь воспользуемся свойством логарифма степени: $\log_c(x^k) = k \log_c(x)$.

$\lg((10a)^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{4}\lg(10a)$

Из пункта а) мы уже знаем, что $\lg(10a) = 1 + b$. Подставим это значение:

$\frac{1}{4}(1 + b) = \frac{1 + b}{4}$

Ответ: $\frac{1 + b}{4}$

в)

Используем свойство логарифма частного: $\log_c(\frac{x}{y}) = \log_c(x) - \log_c(y)$.

$\lg\frac{a}{100} = \lg(a) - \lg(100)$

По условию $\lg(a) = b$. Вычислим $\lg(100)$.

$\lg(100) = \lg(10^2) = 2 \cdot \lg(10) = 2 \cdot 1 = 2$

Подставляем известные значения в выражение:

$\lg\frac{a}{100} = b - 2$

Ответ: $b - 2$

г)

Используем свойство логарифма произведения: $\lg(0,001a) = \lg(0,001) + \lg(a)$.

По условию $\lg(a) = b$. Вычислим $\lg(0,001)$.

Представим десятичную дробь в виде степени числа 10: $0,001 = \frac{1}{1000} = 10^{-3}$.

$\lg(0,001) = \lg(10^{-3}) = -3 \cdot \lg(10) = -3 \cdot 1 = -3$

Подставляем известные значения в выражение:

$\lg(0,001a) = -3 + b = b - 3$

Ответ: $b - 3$