Номер 195, страница 188 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

195. Воспользуйтесь свойствами степени с действительным показателем и выполните действия:

а) $a^{2-\sqrt{7}} \cdot a^{\sqrt{7}} ;$

б) $a^{\sqrt{3}+1} : a^{\sqrt{3}-2} ;$

в) $a^5 : (a^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} ;$

г) $(a^{\sqrt{7}+\sqrt{3}})^{\sqrt{7}-\sqrt{3}} .$

а) Для упрощения выражения $a^{2-\sqrt{7}} \cdot a^{\sqrt{7}}$ используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. При умножении степеней их показатели складываются. В данном случае основание — $a$, а показатели — $(2-\sqrt{7})$ и $\sqrt{7}$.
$a^{2-\sqrt{7}} \cdot a^{\sqrt{7}} = a^{(2-\sqrt{7}) + \sqrt{7}} = a^{2-\sqrt{7}+\sqrt{7}} = a^2$.
Ответ: $a^2$.

б) Для выражения $a^{\sqrt{3}+1} : a^{\sqrt{3}-2}$ применяется свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. При делении степеней из показателя делимого вычитается показатель делителя. Основание — $a$, показатель делимого — $(\sqrt{3}+1)$, показатель делителя — $(\sqrt{3}-2)$.
$a^{\sqrt{3}+1} : a^{\sqrt{3}-2} = a^{(\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}-2)} = a^{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+2} = a^3$.
Ответ: $a^3$.

в) В выражении $a^5 : (a^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$ необходимо последовательно применить два свойства степени. Сначала упростим делитель $(a^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$, используя свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(a^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = a^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = a^2$.
Теперь выполним деление, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$a^5 : a^2 = a^{5-2} = a^3$.
Ответ: $a^3$.

г) Для упрощения выражения $(a^{\sqrt{7}+\sqrt{3}})^{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ используется свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Показатели степеней перемножаются. В данном случае основание — $a$, а показатели — $(\sqrt{7}+\sqrt{3})$ и $(\sqrt{7}-\sqrt{3})$.
$(a^{\sqrt{7}+\sqrt{3}})^{\sqrt{7}-\sqrt{3}} = a^{(\sqrt{7}+\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7}-\sqrt{3})}$.
Для вычисления произведения в показателе степени применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$:
$(\sqrt{7}+\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7}-\sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4$.
Таким образом, итоговое выражение равно $a^4$.
Ответ: $a^4$.