Номер 212, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

212. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \cos x$ и $y = 3\sin x$.

Для нахождения абсцисс точек пересечения графиков двух функций необходимо приравнять их выражения. В точках пересечения значения $y$ у обеих функций совпадают.

Даны функции $y = \cos x$ и $y = 3\sin x$.

Приравниваем их:

$\cos x = 3\sin x$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Для его решения разделим обе части на $\cos x$. Предварительно нужно убедиться, что $\cos x \neq 0$.

Допустим, $\cos x = 0$. Тогда из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $\sin^2 x = 1 - 0^2 = 1$, откуда $\sin x = \pm 1$.

Подставим $\cos x = 0$ в исходное уравнение:

$0 = 3\sin x$

Из этого уравнения следует, что $\sin x = 0$.

Получили противоречие: $\sin x$ не может одновременно быть равен $0$ и $\pm 1$. Следовательно, наше предположение неверно, и $\cos x \neq 0$ для корней данного уравнения. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$.

$\frac{\cos x}{\cos x} = \frac{3\sin x}{\cos x}$

$1 = 3 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}$

Используя определение тангенса $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем:

$1 = 3\tan x$

Выразим $\tan x$:

$\tan x = \frac{1}{3}$

Теперь найдем $x$. Абсциссы точек пересечения — это все решения данного уравнения. Общее решение для уравнения $\tan x = a$ имеет вид $x = \arctan(a) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $a = \frac{1}{3}$, поэтому абсциссы точек пересечения задаются формулой:

$x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.