Номер 504, страница 151 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

504. Луч света падает на прямоугольную плоскопараллельную стеклянную пластину под углом $\alpha = 60^{\circ}$ и, преломившись, попадает на ее торцевую поверхность. Определите, под каким углом луч выходит из пластинки, если абсолютный показатель преломления стекла $n = 1,5$.

Дано:

Угол падения луча на пластину: $ \alpha = 60^\circ $

Абсолютный показатель преломления стекла: $ n = 1.5 $

Абсолютный показатель преломления воздуха: $ n_1 = 1 $

Найти:

Угол выхода луча из пластинки $ \delta $.

Решение:

1. Сначала рассмотрим преломление света на верхней грани пластины (граница воздух-стекло). Согласно закону Снеллиуса:

$ n_1 \sin\alpha = n \sin\beta $

где $ \beta $ — угол преломления в стекле. Выразим синус угла преломления:

$ \sin\beta = \frac{n_1 \sin\alpha}{n} = \frac{1 \cdot \sin 60^\circ}{1.5} = \frac{\sqrt{3}/2}{3/2} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

2. Далее преломленный луч падает на торцевую поверхность. Так как пластина прямоугольная, ее торцевая и верхняя поверхности перпендикулярны. Следовательно, нормали к этим поверхностям также перпендикулярны. Угол падения луча на торцевую поверхность $ \gamma $ связан с углом преломления $ \beta $ соотношением:

$ \gamma = 90^\circ - \beta $

3. Проверим, выйдет ли луч из пластины через торцевую поверхность. Для этого необходимо сравнить угол падения $ \gamma $ с предельным углом полного внутреннего отражения $ \gamma_{пр} $. Предельный угол находится из условия:

$ \sin\gamma_{пр} = \frac{n_1}{n} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3} $

Найдем синус угла падения на торцевую поверхность:

$ \sin\gamma = \sin(90^\circ - \beta) = \cos\beta $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1 $, найдем $ \cos\beta $:

$ \cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{9}} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} $

Сравним $ \sin\gamma = \sqrt{2/3} \approx 0.816 $ и $ \sin\gamma_{пр} = 2/3 \approx 0.667 $.

Так как $ \sin\gamma > \sin\gamma_{пр} $, на торцевой поверхности происходит полное внутреннее отражение. Это означает, что луч не выходит в воздух через торец, а отражается от него и продолжает распространяться внутри пластины.

4. После отражения от торцевой грани луч падает на нижнюю грань пластины, которая параллельна верхней. Из-за симметрии и законов отражения, угол падения на нижнюю грань будет равен углу преломления на верхней грани, то есть $ \beta $.

5. Рассмотрим выход луча из нижней грани (граница стекло-воздух). Запишем закон Снеллиуса для этой границы, где $ \delta $ — искомый угол выхода:

$ n \sin\beta = n_1 \sin\delta $

Из пункта 1 мы знаем, что $ n_1 \sin\alpha = n \sin\beta $. Приравняв левые части двух выражений, получим:

$ n_1 \sin\alpha = n_1 \sin\delta $

$ \sin\alpha = \sin\delta $

Отсюда следует, что угол выхода равен углу падения:

$ \delta = \alpha = 60^\circ $

Ответ: луч выходит из пластинки под углом $ 60^\circ $.