Номер 500, страница 150 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

500. *В воду опущена прямоугольная стеклянная призма. Луч света падает из воздуха перпендикулярно на верхнюю горизонтальную грань призмы (рис. 133). При каком максимальном угле $\phi_{\max}$ луч испытает полное отражение на границе стекло — вода? Абсолютный показатель преломления стекла $n_1 = 1,64$, воды $n_2 = 1,33$.

Рис. 133

Дано:

Абсолютный показатель преломления стекла $n_1 = 1.64$

Абсолютный показатель преломления воды $n_2 = 1.33$

Найти:

$φ_{max}$ — ?

Решение:

Луч света падает из воздуха на верхнюю горизонтальную грань призмы перпендикулярно. Это означает, что угол падения на эту грань равен 0°, и луч не преломляется, проходя в стекло без изменения направления.

Далее луч достигает наклонной грани, которая является границей раздела сред стекло-вода. Чтобы на этой границе произошло полное внутреннее отражение, должны выполняться два условия:

1. Свет должен переходить из оптически более плотной среды в оптически менее плотную. В данном случае свет переходит из стекла ($n_1 = 1.64$) в воду ($n_2 = 1.33$). Так как $n_1 > n_2$, это условие выполняется.
2. Угол падения луча $α$ на эту границу должен быть больше или равен предельному углу полного внутреннего отражения $α_c$. То есть, должно выполняться неравенство: $α \ge α_c$.

Предельный угол полного внутреннего отражения $α_c$ находится из соотношения:

$\sin(α_c) = \frac{n_2}{n_1}$

Теперь найдем связь между углом призмы $φ$ и углом падения $α$. Падающий на наклонную грань луч вертикален, он параллелен вертикальной грани призмы. Угол падения $α$ — это угол между падающим лучом и нормалью (перпендикуляром) к наклонной грани. Из геометрических соображений (рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный вертикальным катетом, гипотенузой и проведенной к ней нормалью) можно установить, что угол падения $α$ связан с углом $φ$ соотношением:

$α = 90° - φ$

Подставим это выражение в условие полного внутреннего отражения:

$90° - φ \ge α_c$

Выразим отсюда $φ$:

$φ \le 90° - α_c$

Максимальное значение угла $φ_{max}$ будет достигаться при знаке равенства, то есть когда угол падения равен предельному углу ($α = α_c$):

$φ_{max} = 90° - α_c$

Подставляя выражение для $α_c$, получаем итоговую формулу:

$φ_{max} = 90° - \arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$

Произведем вычисления:

$φ_{max} = 90° - \arcsin\left(\frac{1.33}{1.64}\right) \approx 90° - \arcsin(0.811)$

$α_c = \arcsin(0.811) \approx 54.2°$

$φ_{max} \approx 90° - 54.2° = 35.8°$

Ответ: Максимальный угол, при котором луч испытает полное отражение, составляет $φ_{max} \approx 35.8°$.