Номер 502, страница 150 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

502. Прямая треугольная стеклянная призма с преломляющим углом $\phi = 30^\circ$ расположена в воздухе. Луч света, падающий нормально на одну из граней призмы, выходит через вторую преломляющую грань, отклоняясь от первоначального направления распространения на угол $\theta = 30^\circ$. Определите предельный угол полного отражения для границы стекло — воздух.

Дано:

Преломляющий угол призмы: $\phi = 30^\circ$

Угол отклонения луча: $\theta = 30^\circ$

Показатель преломления воздуха: $n_{возд} \approx 1$

Найти:

Предельный угол полного отражения для границы стекло — воздух: $\alpha_{пред}$

Решение:

Луч света падает на первую грань призмы нормально (перпендикулярно), поэтому угол падения на эту грань равен $0^\circ$. Согласно закону преломления, угол преломления также будет равен $0^\circ$, и луч войдет в призму, не изменив своего направления.

Внутри призмы луч распространяется до второй преломляющей грани. Из геометрических соображений, угол падения луча на вторую грань $\alpha_2$ равен преломляющему углу призмы $\phi$.

$\alpha_2 = \phi = 30^\circ$

На второй грани (граница стекло — воздух) луч преломляется и выходит в воздух. Угол отклонения $\theta$ — это угол между первоначальным направлением луча и его направлением после выхода из призмы. Так как на первой грани отклонения не было, весь угол отклонения создается при преломлении на второй грани. Угол отклонения связан с углом падения $\alpha_2$ и углом преломления $\beta_2$ следующим соотношением:

$\theta = \beta_2 - \alpha_2$

Отсюда мы можем найти угол преломления $\beta_2$:

$\beta_2 = \theta + \alpha_2 = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$

Теперь применим закон преломления Снеллиуса для второй грани, где $n$ — показатель преломления стекла, а $n_{возд} \approx 1$ — показатель преломления воздуха:

$n \cdot \sin \alpha_2 = n_{возд} \cdot \sin \beta_2$

$n \cdot \sin(30^\circ) = 1 \cdot \sin(60^\circ)$

Выразим и вычислим показатель преломления стекла $n$:

$n = \frac{\sin(60^\circ)}{\sin(30^\circ)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$

Предельный угол полного внутреннего отражения $\alpha_{пред}$ — это угол падения на границе раздела двух сред (в данном случае стекло — воздух), при котором угол преломления составляет $90^\circ$. Он определяется по формуле:

$\sin \alpha_{пред} = \frac{n_{возд}}{n}$

Подставим известные значения:

$\sin \alpha_{пред} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Тогда предельный угол равен:

$\alpha_{пред} = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 35.3^\circ$

Ответ: Предельный угол полного отражения для границы стекло — воздух равен $\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$, что приблизительно составляет $35.3^\circ$.