Номер 498, страница 149 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

498. *В воду опущен прямоугольный плексигласовый клин (рис. 131). На грань AB нормально падает монохроматический луч света. Определите максимальный угол $α$, при котором на грани BC происходит полное отражение света. Абсолютный показатель преломления плексигласа $n_{\text{п}} = 1,55$, воды $n_{\text{в}} = 1,33$.

Рис. 131

Дано

Абсолютный показатель преломления плексигласа $n_п = 1,55$

Абсолютный показатель преломления воды $n_в = 1,33$

Найти:

$\alpha_{max}$

Решение

Монохроматический луч света падает на грань AB прямоугольного клина нормально (перпендикулярно). Согласно закону преломления света, если угол падения равен нулю, то и угол преломления равен нулю. Следовательно, луч света входит в клин, не меняя своего направления, и распространяется перпендикулярно грани AB до тех пор, пока не достигнет грани BC.

На границе плексиглас-вода (грань BC) луч переходит из оптически более плотной среды (плексиглас, $n_п = 1,55$) в оптически менее плотную среду (вода, $n_в = 1,33$), так как $n_п > n_в$. Это является необходимым условием для возникновения явления полного внутреннего отражения.

Определим угол падения $\gamma_1$ луча на грань BC. Клин ABC является прямоугольным треугольником, где, судя по рисунку, угол при вершине A прямой ($\angle CAB = 90^\circ$). Луч света внутри клина распространяется перпендикулярно AB, то есть параллельно катету AC. Из геометрических соображений, угол падения луча на грань BC, $\gamma_1$ (угол между лучом и нормалью к грани BC), связан с углом клина $\alpha = \angle ACB$ соотношением:

$\gamma_1 = 90^\circ - \alpha$

Полное внутреннее отражение происходит, когда угол падения $\gamma_1$ превышает или равен предельному (критическому) углу полного отражения $\gamma_{кр}$:

$\gamma_1 \ge \gamma_{кр}$

Предельный угол полного отражения определяется по формуле:

$\sin(\gamma_{кр}) = \frac{n_в}{n_п}$

Подставим выражение для $\gamma_1$ в условие полного отражения:

$90^\circ - \alpha \ge \gamma_{кр}$

Выразим отсюда угол $\alpha$:

$\alpha \le 90^\circ - \gamma_{кр}$

Таким образом, максимальный угол $\alpha_{max}$, при котором еще происходит полное отражение, соответствует знаку равенства:

$\alpha_{max} = 90^\circ - \gamma_{кр}$

Подставим формулу для предельного угла:

$\alpha_{max} = 90^\circ - \arcsin\left(\frac{n_в}{n_п}\right)$

Произведем вычисления:

$\sin(\gamma_{кр}) = \frac{1,33}{1,55} \approx 0,858$

$\gamma_{кр} = \arcsin(0,858) \approx 59,1^\circ$

$\alpha_{max} = 90^\circ - 59,1^\circ = 30,9^\circ$

Ответ: максимальный угол $\alpha$, при котором на грани BC происходит полное отражение света, равен $30,9^\circ$.