Номер 492, страница 147 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

492. В бассейне на поверхности воды плавает непрозрачный тонкий круг радиусом $R = 1,2$ м. В центре под кругом находится точечный источник света, который в некоторый момент отрывается и падает вертикально вниз с ускорением, модуль которого $a = 10,0 \frac{\text{см}}{\text{с}^2}$. Определите, через какой минимальный промежуток времени лучи света начнут выходить из воды в воздух.

Дано:

Радиус непрозрачного круга $R = 1.2$ м.

Ускорение источника света $a = 10.0 \, \frac{\text{см}}{\text{с}^2} = 0.100 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Показатель преломления воды (стандартное значение) $n_в = 4/3$.

Найти:

Минимальный промежуток времени $t$.

Решение:

Лучи света начнут выходить из воды в воздух, когда они смогут пройти мимо непрозрачного круга и преломиться на границе вода-воздух. Условием выхода луча из воды в воздух является то, что угол падения луча $\alpha$ на границу раздела сред меньше или равен предельному углу полного внутреннего отражения $\alpha_{кр}$.

Предельный угол полного внутреннего отражения определяется из закона Снеллиуса:

$n_в \sin \alpha_{кр} = n_а \sin 90^\circ$

где $n_в$ — показатель преломления воды, а $n_а \approx 1$ — показатель преломления воздуха. Отсюда получаем:

$\sin \alpha_{кр} = \frac{1}{n_в}$

Рассмотрим геометрию задачи. Пусть в некоторый момент времени источник света находится на глубине $h$ под центром круга. Луч света, идущий от источника к самому краю круга, падает на поверхность воды под углом $\alpha$. Из прямоугольного треугольника, образованного глубиной $h$, радиусом круга $R$ и путем луча, следует:

$\tan \alpha = \frac{R}{h}$

Свет начнет выходить из воды, как только лучи, проходящие вплотную к краю диска, перестанут испытывать полное внутреннее отражение. Минимальная глубина $h_{min}$, при которой это станет возможно, соответствует случаю, когда угол падения таких лучей равен предельному углу $\alpha_{кр}$:

$\tan \alpha_{кр} = \frac{R}{h_{min}}$

Найдем $\tan \alpha_{кр}$, зная $\sin \alpha_{кр}$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$\cos \alpha_{кр} = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha_{кр}} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{n_в}\right)^2} = \frac{\sqrt{n_в^2 - 1}}{n_в}$

Тогда тангенс предельного угла равен:

$\tan \alpha_{кр} = \frac{\sin \alpha_{кр}}{\cos \alpha_{кр}} = \frac{1/n_в}{\sqrt{n_в^2 - 1}/n_в} = \frac{1}{\sqrt{n_в^2 - 1}}$

Приравнивая два выражения для тангенса, находим минимальную глубину:

$\frac{R}{h_{min}} = \frac{1}{\sqrt{n_в^2 - 1}} \implies h_{min} = R \sqrt{n_в^2 - 1}$

Источник света падает из состояния покоя ($v_0 = 0$) с постоянным ускорением $a$. Пройденный им путь (глубина $h$) за время $t$ определяется формулой равноускоренного движения:

$h = \frac{at^2}{2}$

Чтобы найти искомое время $t$, подставим в эту формулу найденное значение $h_{min}$:

$h_{min} = \frac{at^2}{2} \implies t = \sqrt{\frac{2 h_{min}}{a}}$

Заменим $h_{min}$ его выражением через $R$ и $n_в$:

$t = \sqrt{\frac{2 R \sqrt{n_в^2 - 1}}{a}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 1.2 \, \text{м} \cdot \sqrt{(4/3)^2 - 1}}{0.100 \, \text{м/с}^2}} = \sqrt{\frac{2.4 \cdot \sqrt{16/9 - 1}}{0.1}} = \sqrt{24 \cdot \sqrt{7/9}} = \sqrt{24 \cdot \frac{\sqrt{7}}{3}} = \sqrt{8\sqrt{7}} \, \text{с}$

Вычислим приближенное значение:

$t \approx \sqrt{8 \cdot 2.646} \approx \sqrt{21.168} \approx 4.60 \, \text{с}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как радиус $R$ задан с двумя значащими цифрами.

Ответ: $t \approx 4.6$ с.