Номер 487, страница 146 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

487. На поверхности воды плавает тонкий квадратный плот, сторона которого $l = 2,0 \text{ м}$. Из центра плота начинают опускать вертикально вниз маленькую лампочку. Определите, на какое максимальное расстояние можно вниз опустить лампочку, чтобы лучи не выходили из воды в воздух.

Дано:

Сторона квадратного плота $l = 2,0 \text{ м}$

Показатель преломления воды (справочное значение) $n_в = 1,33$

Показатель преломления воздуха (справочное значение) $n_{воздуха} = 1,00$

Найти:

Максимальное расстояние (глубину) $h_{max}$

Решение:

Чтобы лучи света от лампочки, находящейся в воде, не выходили в воздух, они должны испытывать явление полного внутреннего отражения на границе раздела вода-воздух. Это явление наблюдается, когда свет переходит из оптически более плотной среды в менее плотную (из воды в воздух), и угол падения $\alpha$ превышает или равен некоторому критическому (предельному) углу $\alpha_{пр}$.

Критический угол полного внутреннего отражения определяется из закона преломления света (закона Снеллиуса) при условии, что угол преломления равен $90^\circ$:

$n_в \sin(\alpha_{пр}) = n_{воздуха} \sin(90^\circ)$

$\sin(\alpha_{пр}) = \frac{n_{воздуха}}{n_в}$

Плот, плавающий на поверхности, не пропускает свет. Следовательно, лучи могут выйти из воды только за пределами плота. Чтобы ни один луч не вышел в воздух, необходимо, чтобы лучи, падающие на границу раздела вода-воздух у самого края плота, испытывали полное внутреннее отражение. Это означает, что угол падения этих лучей должен быть как минимум равен критическому углу $\alpha_{пр}$.

Рассмотрим лучи, идущие от лампочки к ближайшим точкам края плота. Для квадратного плота, из центра которого опускают лампочку, ближайшие точки края находятся на серединах его сторон. Расстояние от центра до середины стороны равно половине длины стороны: $r = l/2$.

Если лампочка опущена на глубину $h$, то тангенс угла падения луча, идущего к середине края плота, можно найти из прямоугольного треугольника:

$\tan(\alpha) = \frac{r}{h} = \frac{l/2}{h} = \frac{l}{2h}$

В предельном случае, при максимальной глубине опускания $h_{max}$, угол падения $\alpha$ будет равен критическому углу $\alpha_{пр}$:

$\tan(\alpha_{пр}) = \frac{l}{2h_{max}}$

Отсюда можем выразить искомую максимальную глубину:

$h_{max} = \frac{l}{2 \tan(\alpha_{пр})}$

Чтобы найти $\tan(\alpha_{пр})$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos(\alpha_{пр}) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha_{пр})}$.

$\tan(\alpha_{пр}) = \frac{\sin(\alpha_{пр})}{\cos(\alpha_{пр})} = \frac{\sin(\alpha_{пр})}{\sqrt{1 - \sin^2(\alpha_{пр})}} = \frac{\frac{n_{воздуха}}{n_в}}{\sqrt{1 - \left(\frac{n_{воздуха}}{n_в}\right)^2}} = \frac{n_{воздуха}}{\sqrt{n_в^2 - n_{воздуха}^2}}$

Подставим полученное выражение для тангенса в формулу для $h_{max}$:

$h_{max} = \frac{l}{2} \cdot \frac{\sqrt{n_в^2 - n_{воздуха}^2}}{n_{воздуха}}$

Произведем вычисления, подставив числовые значения:

$h_{max} = \frac{2,0 \text{ м}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1,33^2 - 1,00^2}}{1,00} = 1,0 \cdot \sqrt{1,7689 - 1,00} = \sqrt{0,7689} \text{ м} \approx 0,877 \text{ м}$

Округлим результат до двух значащих цифр, в соответствии с точностью данных в условии ($l = 2,0$ м).

$h_{max} \approx 0,88 \text{ м}$

Ответ: максимальное расстояние, на которое можно опустить лампочку, чтобы лучи не выходили из воды в воздух, составляет приблизительно $0,88$ м.