Номер 486, страница 146 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

486. Угол падения лазерного луча из воздуха на слой воды толщиной $h = 40$ см равен предельному углу полного отражения на границе вода — воздух. Определите смещение оси луча после прохождения слоя воды. Абсолютный показатель преломления воды $n = \frac{4}{3}$.

Дано:

$h = 40$ см

$n = \frac{4}{3}$

$n_{воздуха} \approx 1$

Угол падения $\alpha$ равен предельному углу полного отражения на границе вода-воздух, $\alpha = \alpha_{пр}$.

Перевод в систему СИ:

$h = 0,4$ м

Найти:

$x$ - ?

Решение:

Смещение луча после прохождения через плоскопараллельную пластину (в данном случае, слой воды) определяется по формуле:

$x = h \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\beta)}$

где $h$ – толщина слоя, $\alpha$ – угол падения, $\beta$ – угол преломления.

1. Найдем угол падения $\alpha$. По условию, он равен предельному углу полного отражения на границе вода – воздух, $\alpha_{пр}$. Предельный угол находится из соотношения:

$\sin(\alpha_{пр}) = \frac{n_{воздуха}}{n}$

Поскольку $\alpha = \alpha_{пр}$, то:

$\sin(\alpha) = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$

2. Найдем угол преломления $\beta$, используя закон преломления света (закон Снеллиуса) для границы воздух – вода:

$n_{воздуха} \sin(\alpha) = n \sin(\beta)$

$1 \cdot \frac{3}{4} = \frac{4}{3} \sin(\beta)$

Отсюда находим синус угла преломления:

$\sin(\beta) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$

3. Для вычисления смещения $x$ нам потребуются значения $\cos(\alpha)$ и $\cos(\beta)$. Найдем их, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\phi + \cos^2\phi = 1$. Поскольку углы падения и преломления острые, их косинусы положительны.

$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\cos(\beta) = \sqrt{1 - \sin^2(\beta)} = \sqrt{1 - (\frac{9}{16})^2} = \sqrt{1 - \frac{81}{256}} = \sqrt{\frac{256-81}{256}} = \sqrt{\frac{175}{256}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 7}}{16} = \frac{5\sqrt{7}}{16}$

4. Теперь можно рассчитать смещение $x$. Воспользуемся формулой разности синусов $\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)$.

$x = h \frac{\sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\beta)}$

Подставим найденные значения:

$x = 0,4 \cdot \frac{(\frac{3}{4})(\frac{5\sqrt{7}}{16}) - (\frac{\sqrt{7}}{4})(\frac{9}{16})}{\frac{5\sqrt{7}}{16}}$

Упростим числитель дроби:

$\frac{15\sqrt{7}}{64} - \frac{9\sqrt{7}}{64} = \frac{6\sqrt{7}}{64} = \frac{3\sqrt{7}}{32}$

Подставим обратно в формулу для $x$:

$x = 0,4 \cdot \frac{\frac{3\sqrt{7}}{32}}{\frac{5\sqrt{7}}{16}} = 0,4 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{32} \cdot \frac{16}{5\sqrt{7}}$

Сокращаем $\sqrt{7}$ и числа:

$x = 0,4 \cdot \frac{3 \cdot 16}{32 \cdot 5} = 0,4 \cdot \frac{3}{2 \cdot 5} = 0,4 \cdot \frac{3}{10} = 0,4 \cdot 0,3 = 0,12$ м

Переведем результат в сантиметры: $0,12$ м $= 12$ см.

Ответ: смещение оси луча составит 12 см.