Номер 483, страница 146 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

483. На горизонтальном дне бассейна лежит жетон радиусом $r = 1,0$ см. На каком максимальном расстоянии над жетоном надо поместить в воде плоский непрозрачный круглый экран радиусом $R = 4,0$ см, чтобы жетон нельзя было обнаружить, наблюдая из воздуха?

Дано:

Радиус жетона: $ r = 1,0 \text{ см} $

Радиус экрана: $ R = 4,0 \text{ см} $

Показатель преломления воды: $ n_{вода} = 4/3 $

Показатель преломления воздуха: $ n_{воздуха} \approx 1 $

Найти:

Максимальное расстояние над жетоном $ h $ - ?

Решение:

Чтобы жетон был не виден из воздуха, лучи света, идущие от него, не должны выходить из воды в воздух. Это означает, что они должны либо перекрываться непрозрачным экраном, либо испытывать полное внутреннее отражение на границе раздела вода-воздух.

Максимальное расстояние $ h $ соответствует предельному случаю, когда лучи, идущие от самого края жетона и проходящие впритирку к краю экрана, падают на поверхность воды под критическим углом полного внутреннего отражения $ \alpha_c $. Если расстояние будет больше, угол падения луча станет меньше критического, и часть жетона станет видна.

Критический угол $ \alpha_c $ определяется законом преломления света (законом Снеллиуса):

$ n_{вода} \sin(\alpha_c) = n_{воздуха} \sin(90^\circ) $

Принимая показатель преломления воздуха $ n_{воздуха} = 1 $ и зная, что $ \sin(90^\circ) = 1 $, получаем:

$ \sin(\alpha_c) = \frac{1}{n_{вода}} $

Рассмотрим геометрию хода луча от края жетона до края экрана. Пусть $ h $ — искомое расстояние между жетоном и экраном. Луч света образует гипотенузу в прямоугольном треугольнике, катеты которого равны $ h $ (расстояние по вертикали) и $ (R - r) $ (расстояние по горизонтали). Угол $ \alpha $, который этот луч составляет с вертикалью, и будет углом падения на границу раздела вода-воздух.

Из этого прямоугольного треугольника можно выразить синус угла $ \alpha $:

$ \sin(\alpha) = \frac{R - r}{\sqrt{h^2 + (R - r)^2}} $

В предельном случае $ \alpha = \alpha_c $. Приравняем выражения для синусов:

$ \frac{R - r}{\sqrt{h^2 + (R - r)^2}} = \frac{1}{n_{вода}} $

Теперь решим это уравнение относительно $ h $. Возведем обе части в квадрат:

$ \frac{(R - r)^2}{h^2 + (R - r)^2} = \frac{1}{n_{вода}^2} $

$ n_{вода}^2 (R - r)^2 = h^2 + (R - r)^2 $

$ h^2 = n_{вода}^2 (R - r)^2 - (R - r)^2 $

$ h^2 = (n_{вода}^2 - 1)(R - r)^2 $

$ h = (R - r)\sqrt{n_{вода}^2 - 1} $

Подставим числовые значения. Показатель преломления для воды $ n_{вода} = 4/3 $.

$ R - r = 4,0 \text{ см} - 1,0 \text{ см} = 3,0 \text{ см} $

$ h = 3,0 \cdot \sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2 - 1} = 3,0 \cdot \sqrt{\frac{16}{9} - 1} = 3,0 \cdot \sqrt{\frac{16 - 9}{9}} = 3,0 \cdot \sqrt{\frac{7}{9}} $

$ h = 3,0 \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} = \sqrt{7} \text{ см} $

Вычислим приближенное значение:

$ h \approx 2,64575... \text{ см} $

Округляя результат, получаем $ h \approx 2,65 $ см.

Ответ: Максимальное расстояние, на котором надо поместить экран над жетоном, составляет $ h = \sqrt{7} \text{ см} \approx 2,65 \text{ см} $.