Номер 485, страница 146 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

485. На дно сосуда, заполненного водой до высоты $H = 15$ см, помещен точечный источник света. Определите наименьший диаметр непрозрачной пластинки, которую необходимо поместить на поверхность воды, чтобы свет не выходил из воды.

Дано

Высота слоя воды $H = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$.

Показатель преломления воды $n_1 = 1.33$.

Показатель преломления воздуха $n_2 = 1$.

Найти:

Наименьший диаметр непрозрачной пластинки $D$.

Решение

Чтобы свет от точечного источника, расположенного на дне сосуда, не выходил из воды, необходимо, чтобы все лучи, падающие на границу раздела вода-воздух, испытывали явление полного внутреннего отражения. Это происходит, когда угол падения луча $α$ на границу раздела сред достигает или превышает так называемый предельный угол $α_{пр}$.

Свет, который все же выходит из воды, распространяется в виде конуса. Основание этого конуса на поверхности воды представляет собой круг. Чтобы полностью перекрыть выход света, необходимо поместить на поверхность воды непрозрачную пластинку, диаметр которой равен диаметру этого светового круга. Радиус $R$ этого круга определяется крайними лучами, которые выходят из воды, то есть лучами, падающими на границу раздела под предельным углом $α_{пр}$.

Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса), для предельного угла полного внутреннего отражения справедливо соотношение:

$n_1 \sin(α_{пр}) = n_2 \sin(90°)$

Поскольку $\sin(90°) = 1$, получаем выражение для синуса предельного угла:

$\sin(α_{пр}) = \frac{n_2}{n_1}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный источником света, точкой на поверхности воды прямо над источником и точкой на краю светового круга. Катетами этого треугольника являются глубина воды $H$ и радиус светового круга $R$. Угол падения луча на поверхность в этой точке равен углу при вершине треугольника у источника света. Таким образом, мы можем записать:

$\tan(α_{пр}) = \frac{R}{H}$

Из этого соотношения можно выразить радиус:

$R = H \tan(α_{пр})$

Чтобы найти тангенс, зная синус, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2(α) + \cos^2(α) = 1$.

$\cos(α_{пр}) = \sqrt{1 - \sin^2(α_{пр})} = \sqrt{1 - \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2} = \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_1}$

$\tan(α_{пр}) = \frac{\sin(α_{пр})}{\cos(α_{пр})} = \frac{n_2/n_1}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}/n_1} = \frac{n_2}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}$

Подставим полученное выражение для тангенса в формулу для радиуса:

$R = H \frac{n_2}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}$

Наименьший диаметр пластинки $D$ равен удвоенному радиусу $R$:

$D = 2R = 2H \frac{n_2}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}$

Теперь подставим числовые значения в итоговую формулу:

$D = 2 \cdot 0.15 \cdot \frac{1}{\sqrt{1.33^2 - 1^2}} = 0.3 \cdot \frac{1}{\sqrt{1.7689 - 1}} = 0.3 \cdot \frac{1}{\sqrt{0.7689}}$

$D \approx 0.3 \cdot \frac{1}{0.877} \approx 0.342 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $0.342 \text{ м} = 34.2 \text{ см}$.

Ответ: наименьший диаметр непрозрачной пластинки, которую необходимо поместить на поверхность воды, составляет примерно $34.2$ см.