Номер 484, страница 146 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

484. На дне водоема глубиной $h$ находится точечный источник света. Абсолютный показатель преломления воды равен $n$. Определите минимальный диаметр тонкого непрозрачного диска, который следует поместить на поверхность воды над источником света так, чтобы лучи не выходили из воды в воздух.

Дано:

$h$ - глубина водоема

$n$ - абсолютный показатель преломления воды

Найти:

$D_{min}$ - минимальный диаметр диска

Решение:

Лучи света от точечного источника на дне водоема распространяются во всех направлениях. При переходе из оптически более плотной среды (воды) в оптически менее плотную (воздух) лучи преломляются. Существует предельный угол падения $\alpha_{пр}$, при котором угол преломления $\beta$ равен $90^\circ$. Если угол падения луча больше предельного, происходит явление полного внутреннего отражения, и свет не выходит из воды.

Чтобы лучи не выходили из воды в воздух, нужно заблокировать все лучи, которые падают на поверхность под углами от $0$ до $\alpha_{пр}$. Эти лучи образуют на поверхности воды светлый круг. Минимальный диаметр непрозрачного диска должен быть равен диаметру этого круга.

Запишем закон преломления света (закон Снеллиуса) для луча, падающего на границу раздела вода-воздух под предельным углом:

$n \cdot \sin(\alpha_{пр}) = n_{возд} \cdot \sin(\beta)$

По определению предельного угла, $\beta = 90^\circ$. Показатель преломления воздуха $n_{возд} \approx 1$.

$n \cdot \sin(\alpha_{пр}) = 1 \cdot \sin(90^\circ)$

$n \cdot \sin(\alpha_{пр}) = 1$

Отсюда находим синус предельного угла:

$\sin(\alpha_{пр}) = \frac{1}{n}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный источником света, точкой на поверхности воды прямо над ним и точкой на краю светлого круга. Катетами этого треугольника являются глубина водоема $h$ и радиус круга $R$. Угол, противолежащий катету $R$, равен предельному углу падения $\alpha_{пр}$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(\alpha_{пр}) = \frac{R}{h}$

Выразим тангенс предельного угла через его синус, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\cos(\alpha_{пр}) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha_{пр})} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{n}\right)^2} = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n}$

$\tan(\alpha_{пр}) = \frac{\sin(\alpha_{пр})}{\cos(\alpha_{пр})} = \frac{1/n}{\sqrt{n^2-1}/n} = \frac{1}{\sqrt{n^2 - 1}}$

Теперь можем найти радиус круга $R$:

$R = h \cdot \tan(\alpha_{пр}) = \frac{h}{\sqrt{n^2 - 1}}$

Минимальный диаметр диска $D_{min}$ равен удвоенному радиусу:

$D_{min} = 2R = \frac{2h}{\sqrt{n^2 - 1}}$

Ответ: Минимальный диаметр диска равен $D_{min} = \frac{2h}{\sqrt{n^2 - 1}}$.