Номер 489, страница 147 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

489. На какой глубине в воде расположен точечный источник света, если лучи из воды в воздух выходят в пределах круга радиусом $R = 50 \text{ см}$?

Дано:

Радиус круга света на поверхности воды $R = 50$ см

Показатель преломления воды $n_{воды} \approx 1.33$

Показатель преломления воздуха $n_{воздуха} \approx 1.00$

Перевод в СИ:

$R = 0.5$ м

Найти:

$h$ - глубина расположения источника света.

Решение:

Лучи света от точечного источника, расположенного на глубине $h$ в воде, распространяются во все стороны. При переходе из оптически более плотной среды (воды) в менее плотную (воздух) лучи преломляются. Явление выхода света из воды в воздух ограничено явлением полного внутреннего отражения. Это происходит, когда угол падения луча на границу раздела вода-воздух достигает некоторого критического (предельного) значения $\alpha_{пр}$. При углах падения, больших чем $\alpha_{пр}$, свет полностью отражается обратно в воду.

Свет выходит на поверхность воды в пределах круга, радиус $R$ которого соответствует лучам, падающим на границу раздела сред под предельным углом. Для этих лучей угол преломления $\beta$ равен $90^\circ$.

Запишем закон преломления света (закон Снеллиуса) для луча, идущего по краю светового конуса:

$n_{воды} \sin \alpha_{пр} = n_{воздуха} \sin \beta$

Подставляем $\beta = 90^\circ$ и $n_{воздуха} = 1$:

$n_{воды} \sin \alpha_{пр} = 1 \cdot \sin 90^\circ$

$n_{воды} \sin \alpha_{пр} = 1$

Отсюда находим синус предельного угла:

$\sin \alpha_{пр} = \frac{1}{n_{воды}}$

Теперь рассмотрим геометрию задачи. Источник света (S), центр светового круга на поверхности (O) и любая точка на окружности этого круга (P) образуют прямоугольный треугольник SOP, где SO = $h$ (искомая глубина) и OP = $R$ (радиус круга). Угол при вершине S в этом треугольнике равен предельному углу падения $\alpha_{пр}$.

Из этого треугольника можно выразить тангенс угла $\alpha_{пр}$:

$\tan \alpha_{пр} = \frac{R}{h}$

Зная синус угла, мы можем найти его тангенс, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, откуда $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha}$:

$\tan \alpha_{пр} = \frac{\sin \alpha_{пр}}{\cos \alpha_{пр}} = \frac{\sin \alpha_{пр}}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha_{пр}}}$

Подставим в это выражение $\sin \alpha_{пр} = \frac{1}{n_{воды}}$:

$\tan \alpha_{пр} = \frac{\frac{1}{n_{воды}}}{\sqrt{1 - \left(\frac{1}{n_{воды}}\right)^2}} = \frac{\frac{1}{n_{воды}}}{\sqrt{\frac{n_{воды}^2 - 1}{n_{воды}^2}}} = \frac{1}{\sqrt{n_{воды}^2 - 1}}$

Теперь приравняем два полученных выражения для $\tan \alpha_{пр}$:

$\frac{R}{h} = \frac{1}{\sqrt{n_{воды}^2 - 1}}$

Выразим отсюда искомую глубину $h$:

$h = R \sqrt{n_{воды}^2 - 1}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$h = 0.5 \text{ м} \cdot \sqrt{1.33^2 - 1^2} = 0.5 \text{ м} \cdot \sqrt{1.7689 - 1} = 0.5 \text{ м} \cdot \sqrt{0.7689} \approx 0.5 \text{ м} \cdot 0.877 \approx 0.4385 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $0.4385 \text{ м} \approx 43.9 \text{ см}$.

Ответ: глубина, на которой расположен точечный источник света, составляет примерно 44 см.