Номер 494, страница 148 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

494. На дне озера стоит водолаз и видит отраженными от поверхности воды те части горизонтального дна, которые расположены от него на расстоянии $l = 15,0 \text{ м}$ и больше. Определите глубину озера, если расстояние от дна до глаз водолаза $h = 1,8 \text{ м}$.

Дано:

$l = 15,0$ м

$h = 1,8$ м

Показатель преломления воды $n_1 = n_{воды} \approx 1,33$

Показатель преломления воздуха $n_2 = n_{воздуха} \approx 1,00$

Найти:

$H$ –?

Решение:

Водолаз, находясь под водой, видит отражение дна от поверхности воды. Явление, при котором свет, идущий из оптически более плотной среды (воды) в менее плотную (воздух), полностью отражается от границы раздела сред, называется полным внутренним отражением. Это происходит, когда угол падения света на границу раздела превышает или равен некоторому критическому углу $\alpha_c$.

Условие, что водолаз видит дно начиная с расстояния $l$, означает, что луч света, идущий от точки дна на расстоянии $l$ от водолаза, падает на поверхность воды под критическим углом $\alpha_c$.

Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса), критический угол определяется соотношением:

$\sin(\alpha_c) = \frac{n_2}{n_1} = \frac{n_{воздуха}}{n_{воды}}$

Обозначим показатель преломления воды как $n \approx 1,33$, тогда $\sin(\alpha_c) = 1/n$.

Для нахождения глубины озера $H$ рассмотрим геометрическую схему хода лучей. Удобно использовать метод мнимого изображения. Пусть глаз водолаза E находится на высоте $h$ от дна. Поверхность воды находится на высоте $H$ от дна. Мнимое изображение глаза $E'$ будет располагаться на той же вертикали, что и глаз E, но выше поверхности воды на расстоянии, равном расстоянию от глаза до поверхности $(H-h)$. Таким образом, высота мнимого изображения $E'$ над дном составит $H + (H - h) = 2H - h$.

Свет от точки A на дне, расположенной на горизонтальном расстоянии $l$ от водолаза, после отражения от поверхности в точке B попадает в глаз E. Этот отраженный луч BE является как бы продолжением прямой, соединяющей точку A и мнимое изображение глаза $E'$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются горизонтальное расстояние $l$ и вертикальное расстояние от точки A до мнимого изображения $E'$, равное $2H-h$. Угол падения $\alpha_c$ — это угол между падающим лучом AB и нормалью (вертикалью) к поверхности. В нашем большом треугольнике этот же угол $\alpha_c$ будет углом между гипотенузой $AE'$ и вертикальным катетом. Тангенс этого угла можно выразить как:

$\tan(\alpha_c) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{l}{2H - h}$

Мы можем найти тангенс критического угла, зная его синус:

$\tan(\alpha_c) = \frac{\sin(\alpha_c)}{\cos(\alpha_c)} = \frac{\sin(\alpha_c)}{\sqrt{1 - \sin^2(\alpha_c)}} = \frac{1/n}{\sqrt{1 - (1/n)^2}} = \frac{1/n}{\frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n}} = \frac{1}{\sqrt{n^2 - 1}}$

Приравняем два полученных выражения для $\tan(\alpha_c)$:

$\frac{l}{2H - h} = \frac{1}{\sqrt{n^2 - 1}}$

Из этого уравнения выразим искомую глубину озера $H$:

$l \cdot \sqrt{n^2 - 1} = 2H - h$

$2H = l \cdot \sqrt{n^2 - 1} + h$

$H = \frac{l \cdot \sqrt{n^2 - 1} + h}{2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$H = \frac{15,0 \cdot \sqrt{1,33^2 - 1} + 1,8}{2} = \frac{15,0 \cdot \sqrt{1,7689 - 1} + 1,8}{2} = \frac{15,0 \cdot \sqrt{0,7689} + 1,8}{2}$

$H \approx \frac{15,0 \cdot 0,8769 + 1,8}{2} \approx \frac{13,153 + 1,8}{2} = \frac{14,953}{2} \approx 7,4765$ м

Округляя результат до трех значащих цифр, получаем:

$H \approx 7,48$ м.

Ответ: глубина озера составляет приблизительно 7,48 м.