Номер 497, страница 149 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

497. При переходе луча света из первой среды во вторую угол преломления $\beta_1 = 45^\circ$, а при переходе из первой среды в третью угол преломления $\beta_2 = 30^\circ$ при том же угле падения. Определите предельный угол полного отражения света на границе третьей и второй среды.

Дано:

Угол преломления при переходе луча из первой среды во вторую: $\beta_1 = 45^\circ$.

Угол преломления при переходе луча из первой среды в третью: $\beta_2 = 30^\circ$.

Угол падения $\alpha$ в обоих случаях один и тот же.

Найти:

Предельный угол полного отражения $\alpha_{пр}$ на границе третьей и второй среды.

Решение:

Обозначим показатели преломления первой, второй и третьей сред как $n_1$, $n_2$ и $n_3$ соответственно. Угол падения луча из первой среды обозначим как $\alpha$.

Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса), для перехода луча из первой среды во вторую можно записать:

$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta_1$

Для перехода луча из первой среды в третью:

$n_1 \sin \alpha = n_3 \sin \beta_2$

Поскольку левые части этих уравнений равны, так как среда 1 и угол падения $\alpha$ одинаковы в обоих экспериментах, мы можем приравнять их правые части:

$n_2 \sin \beta_1 = n_3 \sin \beta_2$

Из этого соотношения выразим отношение показателей преломления второй и третьей сред:

$\frac{n_2}{n_3} = \frac{\sin \beta_2}{\sin \beta_1}$

Явление полного внутреннего отражения возможно только при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную (то есть из среды с большим показателем преломления в среду с меньшим). Сравним $n_2$ и $n_3$, подставив известные значения углов:

$\frac{n_2}{n_3} = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Так как $\frac{n_2}{n_3} < 1$, то $n_2 < n_3$. Это означает, что третья среда является оптически более плотной, чем вторая. Следовательно, полное внутреннее отражение возможно при переходе света из третьей среды во вторую.

Предельный угол полного отражения $\alpha_{пр}$ — это такой угол падения, при котором угол преломления составляет $90^\circ$. Запишем закон Снеллиуса для луча, переходящего из третьей среды во вторую под предельным углом:

$n_3 \sin \alpha_{пр} = n_2 \sin 90^\circ$

Учитывая, что $\sin 90^\circ = 1$, получаем:

$n_3 \sin \alpha_{пр} = n_2$

Отсюда находим синус предельного угла:

$\sin \alpha_{пр} = \frac{n_2}{n_3}$

Теперь подставим в это выражение ранее найденное отношение $\frac{n_2}{n_3} = \frac{\sin \beta_2}{\sin \beta_1}$:

$\sin \alpha_{пр} = \frac{\sin \beta_2}{\sin \beta_1}$

Выполним окончательные вычисления:

$\sin \alpha_{пр} = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Зная синус угла, находим сам предельный угол:

$\alpha_{пр} = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$

Ответ: предельный угол полного отражения света на границе третьей и второй среды равен $45^\circ$.