Номер 493, страница 148 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

493. Точечный источник света находится на дне сосуда с жидкостью, абсолютный показатель преломления которой $n = 1,5$. Во сколько раз максимальное время, затрачиваемое светом на прохождение слоя жидкости с последующим выходом в воздух, больше минимального времени?

Дано:

Абсолютный показатель преломления жидкости $n = 1,5$.

Абсолютный показатель преломления воздуха $n_{возд} \approx 1$.

Найти:

$\frac{t_{max}}{t_{min}}$ - отношение максимального времени прохождения света к минимальному.

Решение:

Пусть глубина сосуда с жидкостью равна $h$. Скорость света в жидкости определяется формулой $v = \frac{c}{n}$, где $c$ – скорость света в вакууме.

Время $t$, которое свет затрачивает на прохождение слоя жидкости, зависит от длины пути $S$, пройденного лучом: $t = \frac{S}{v} = \frac{S \cdot n}{c}$.

Минимальное время прохождения $t_{min}$ соответствует кратчайшему пути. Кратчайший путь от точечного источника на дне до поверхности жидкости — это перпендикуляр, опущенный из точки на поверхность. Длина этого пути $S_{min} = h$.

Таким образом, минимальное время равно:

$t_{min} = \frac{S_{min} \cdot n}{c} = \frac{h \cdot n}{c}$

Максимальное время прохождения $t_{max}$ соответствует наиболее длинному пути, при котором свет еще способен выйти из жидкости в воздух. Это происходит, когда луч света падает на границу раздела "жидкость-воздух" под углом, равным предельному (критическому) углу полного внутреннего отражения $\alpha_{пр}$. При углах падения, больших $\alpha_{пр}$, свет полностью отражается обратно в жидкость и не выходит наружу.

Длину пути луча, падающего на границу раздела под углом $\alpha$ к нормали, можно выразить через глубину $h$: $S(\alpha) = \frac{h}{\cos \alpha}$.

Тогда время прохождения этого пути составляет:

$t(\alpha) = \frac{S(\alpha) \cdot n}{c} = \frac{h \cdot n}{c \cdot \cos \alpha}$

Время максимально, когда знаменатель $\cos \alpha$ минимален, то есть когда угол $\alpha$ максимален. Максимальный угол падения, при котором свет еще выходит из жидкости, равен предельному углу $\alpha_{пр}$.

Следовательно, максимальное время:

$t_{max} = t(\alpha_{пр}) = \frac{h \cdot n}{c \cdot \cos \alpha_{пр}}$

Предельный угол полного внутреннего отражения определяется из закона Снеллиуса:

$n \cdot \sin \alpha_{пр} = n_{возд} \cdot \sin 90^{\circ}$

Принимая показатель преломления воздуха $n_{возд} \approx 1$ и $\sin 90^{\circ} = 1$, получаем:

$\sin \alpha_{пр} = \frac{1}{n}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, найдем косинус предельного угла:

$\cos \alpha_{пр} = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha_{пр}} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{n}\right)^2} = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n}$

Теперь мы можем найти искомое отношение времен:

$\frac{t_{max}}{t_{min}} = \frac{\frac{h \cdot n}{c \cdot \cos \alpha_{пр}}}{\frac{h \cdot n}{c}} = \frac{1}{\cos \alpha_{пр}}$

Подставим найденное выражение для $\cos \alpha_{пр}$:

$\frac{t_{max}}{t_{min}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n}} = \frac{n}{\sqrt{n^2 - 1}}$

Подставим в формулу значение $n = 1,5$:

$\frac{t_{max}}{t_{min}} = \frac{1,5}{\sqrt{1,5^2 - 1}} = \frac{1,5}{\sqrt{2,25 - 1}} = \frac{1,5}{\sqrt{1,25}} = \frac{1,5}{\sqrt{5/4}} = \frac{1,5}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$

Вычислим приближенное значение:

$\frac{3}{\sqrt{5}} \approx \frac{3}{2,236} \approx 1,34$

Ответ: Максимальное время больше минимального в $\frac{n}{\sqrt{n^2 - 1}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1,34$ раза.