Номер 491, страница 147 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

491. В цилиндрический сосуд налита оптически прозрачная жидкость до высоты $h = 40 \text{ см}$. На поверхности жидкости по центру сосуда плавает тонкий непрозрачный диск радиусом $R = 6,0 \text{ см}$. Со дна сосуда вдоль осевой линии начинает всплывать точечный источник света. Определите модуль минимального перемещения источника света, после которого лучи света перестанут выходить в воздух через поверхность жидкости. Абсолютный показатель преломления жидкости $n = \frac{5}{3}$.

Дано:

$h = 40 \text{ см}$

$R = 6,0 \text{ см}$

$n = \frac{5}{3}$

Перевод в систему СИ:

$h = 0,40 \text{ м}$

$R = 0,060 \text{ м}$

Найти:

$\Delta y$

Решение:

Лучи света от точечного источника перестанут выходить из жидкости в воздух, когда все лучи, не перекрытые диском, будут испытывать полное внутреннее отражение на границе раздела жидкость-воздух.

Пусть источник света поднимается со дна и в некоторый момент находится на глубине $d$ от поверхности жидкости. Непрозрачный диск радиусом $R$ блокирует лучи, падающие на центральную часть поверхности.

Рассмотрим лучи, которые проходят мимо края диска. Чтобы свет не выходил из жидкости, угол падения $\alpha$ этих лучей (и всех лучей, падающих дальше от центра) должен быть не меньше предельного угла полного внутреннего отражения $\alpha_{пр}$. Свет перестанет выходить наружу, когда угол падения луча, идущего к краю диска, станет равен предельному углу $\alpha_{пр}$.

Предельный угол полного внутреннего отражения $\alpha_{пр}$ находится из закона преломления света (закона Снеллиуса):

$n \sin \alpha_{пр} = n_{воздуха} \sin 90^\circ$

Принимая показатель преломления воздуха $n_{воздуха} \approx 1$, получаем:

$\sin \alpha_{пр} = \frac{1}{n}$

Пусть $d_{кр}$ — это критическая глубина, на которой должен находиться источник, чтобы лучи, идущие к краю диска, падали на поверхность под предельным углом. Из геометрии (рассматривая прямоугольный треугольник, образованный положением источника, центром диска и краем диска) следует, что тангенс угла падения луча на край диска связан с глубиной $d_{кр}$ и радиусом диска $R$ соотношением:

$\tan \alpha_{пр} = \frac{R}{d_{кр}}$

Найдем тангенс предельного угла, зная его синус, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\cos \alpha_{пр} = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha_{пр}} = \sqrt{1 - (\frac{1}{n})^2} = \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n}$

$\tan \alpha_{пр} = \frac{\sin \alpha_{пр}}{\cos \alpha_{пр}} = \frac{1/n}{\sqrt{n^2 - 1}/n} = \frac{1}{\sqrt{n^2 - 1}}$

Теперь мы можем приравнять два выражения для $\tan \alpha_{пр}$ и найти критическую глубину $d_{кр}$:

$\frac{R}{d_{кр}} = \frac{1}{\sqrt{n^2 - 1}}$

$d_{кр} = R \sqrt{n^2 - 1}$

Подставим числовые значения:

$d_{кр} = 6,0 \text{ см} \cdot \sqrt{(\frac{5}{3})^2 - 1} = 6,0 \cdot \sqrt{\frac{25}{9} - \frac{9}{9}} = 6,0 \cdot \sqrt{\frac{16}{9}} = 6,0 \cdot \frac{4}{3} = 8,0 \text{ см}$

Это глубина, на которой должен оказаться источник, чтобы свет перестал выходить из жидкости. Изначально источник находился на дне сосуда, то есть на глубине, равной высоте столба жидкости $h = 40 \text{ см}$.

Минимальное перемещение источника $\Delta y$ — это расстояние, на которое он поднялся со дна. Оно равно разности начальной и конечной глубины:

$\Delta y = h - d_{кр}$

$\Delta y = 40 \text{ см} - 8,0 \text{ см} = 32 \text{ см}$

Ответ: модуль минимального перемещения источника света равен $32 \text{ см}$.