Номер 490, страница 147 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

490. Угол падения луча света из воздуха на плоскопараллельную стеклянную пластинку равен углу полного отражения света для этих сред (стекло — воздух). Определите толщину пластинки, если свет проходит пластинку за время $t$. Абсолютный показатель преломления стекла равен $n$.

Дано:

Угол падения луча, $\alpha$ = $\alpha_{пр}$

Время прохождения света через пластинку, $t$

Абсолютный показатель преломления стекла, $n$

Абсолютный показатель преломления воздуха, $n_{возд} \approx 1$

Скорость света в вакууме, $c$

Найти:

Толщину пластинки, $d$

Решение:

По условию, угол падения луча света из воздуха на пластинку $\alpha$ равен углу полного внутреннего отражения $\alpha_{пр}$ для границы стекло-воздух. Угол полного внутреннего отражения определяется соотношением:

$\sin(\alpha_{пр}) = \frac{n_{возд}}{n}$

Поскольку показатель преломления воздуха $n_{возд}$ принимается равным 1, получаем:

$\sin(\alpha) = \sin(\alpha_{пр}) = \frac{1}{n}$

При входе луча в пластинку из воздуха происходит преломление. Согласно закону Снеллиуса:

$n_{возд} \sin(\alpha) = n \sin(\beta)$

где $\beta$ — угол преломления в стекле. Подставим известные соотношения:

$1 \cdot \frac{1}{n} = n \sin(\beta)$

Отсюда можем выразить синус угла преломления:

$\sin(\beta) = \frac{1}{n^2}$

Путь $L$, который свет проходит внутри пластинки за время $t$, равен:

$L = v \cdot t$

где $v$ — скорость света в стекле. Скорость света в среде с показателем преломления $n$ связана со скоростью света в вакууме $c$ как $v = \frac{c}{n}$. Тогда путь равен:

$L = \frac{c \cdot t}{n}$

Толщину пластинки $d$ можно связать с путем $L$ и углом преломления $\beta$ через тригонометрическое соотношение в прямоугольном треугольнике, где $L$ — гипотенуза, а $d$ — катет, прилежащий к углу $\beta$:

$\cos(\beta) = \frac{d}{L}$

Следовательно, $d = L \cos(\beta)$.

Найдем $\cos(\beta)$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1$:

$\cos(\beta) = \sqrt{1 - \sin^2(\beta)} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{n^2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{n^4}} = \sqrt{\frac{n^4 - 1}{n^4}} = \frac{\sqrt{n^4 - 1}}{n^2}$

Теперь подставим выражения для $L$ и $\cos(\beta)$ в формулу для толщины $d$:

$d = \left(\frac{c \cdot t}{n}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{n^4 - 1}}{n^2}\right) = \frac{ct \sqrt{n^4 - 1}}{n^3}$

Ответ: $d = \frac{ct \sqrt{n^4 - 1}}{n^3}$.