Номер 501, страница 150 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

501. *Луч света падает на прямую треугольную стеклянную призму, преломляющий угол которой $\phi = 90^\circ$, параллельно ее грани AC (рис. 134). Сечение призмы представляет собой прямоугольный равнобедренный треугольник. Определите угол преломления луча, вышедшего из призмы, если абсолютный показатель преломления вещества призмы $n = 1,5$.

Рис. 134

Дано:

Преломляющий угол призмы, $φ = 90°$
Абсолютный показатель преломления вещества призмы, $n = 1,5$
Призма представляет собой прямоугольный равнобедренный треугольник.
Луч света падает параллельно основанию призмы $AC$.
Показатель преломления воздуха, $n_{возд} = 1$

Найти:

Угол преломления луча, вышедшего из призмы - $γ_{вых}$

Решение:

1. Проанализируем геометрию призмы. Так как сечение призмы — прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом $φ$ при вершине $B$, то углы при основании $A$ и $C$ равны:

$∠A = ∠C = (180° - 90°) / 2 = 45°$

2. Рассмотрим преломление света на первой грани $AB$.

Луч света падает на грань $AB$ параллельно основанию $AC$. Угол между падающим лучом и гранью $AB$ равен углу $A$, то есть $45°$. Угол падения $α_1$ — это угол между падающим лучом и нормалью к грани $AB$. Следовательно:

$α_1 = 90° - ∠A = 90° - 45° = 45°$

Запишем закон преломления света (закон Снеллиуса) для грани $AB$:

$n_{возд} \cdot \sin(α_1) = n \cdot \sin(β_1)$

где $β_1$ — угол преломления внутри призмы.

$1 \cdot \sin(45°) = 1,5 \cdot \sin(β_1)$

$\sin(β_1) = \frac{\sin(45°)}{1,5} = \frac{\sqrt{2}/2}{1,5} = \frac{\sqrt{2}}{3} \approx 0,471$

3. Рассмотрим падение луча на вторую грань $BC$.

Угол падения на вторую грань $α_2$ связан с углом преломления на первой грани $β_1$ и преломляющим углом призмы $φ$ соотношением:

$α_2 = φ - β_1 = 90° - β_1$

Прежде чем применять закон преломления, проверим, не произойдет ли явление полного внутреннего отражения. Для этого найдем предельный (критический) угол полного внутреннего отражения $α_{кр}$ для границы стекло-воздух:

$\sin(α_{кр}) = \frac{n_{возд}}{n} = \frac{1}{1,5} \approx 0,667$

Найдем синус угла падения $α_2$:

$\sin(α_2) = \sin(90° - β_1) = \cos(β_1)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(β_1) + \cos^2(β_1) = 1$, найдем $\cos(β_1)$:

$\cos(β_1) = \sqrt{1 - \sin^2(β_1)} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2}}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{9}} = \sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$

Таким образом, $\sin(α_2) = \frac{\sqrt{7}}{3} \approx 0,882$.

Сравниваем $\sin(α_2)$ и $\sin(α_{кр})$:

$0,882 > 0,667$, следовательно $α_2 > α_{кр}$. Это означает, что на грани $BC$ происходит полное внутреннее отражение, и луч света не выходит из этой грани, а отражается от нее по закону отражения (угол отражения равен углу падения) и направляется к основанию $AC$.

4. Рассмотрим падение отраженного луча на основание $AC$.

Найдем угол падения $α_3$ на грань $AC$. Из геометрических соображений (рассматривая треугольник, образованный лучом внутри призмы и гранями $BC$ и $AC$), можно показать, что угол падения луча на основание $AC$ равен:

$α_3 = ∠C - β_1 = 45° - β_1$

Теперь применим закон Снеллиуса для выхода луча из грани $AC$ в воздух:

$n \cdot \sin(α_3) = n_{возд} \cdot \sin(γ_{вых})$

$\sin(γ_{вых}) = n \cdot \sin(45° - β_1)$

Раскроем синус разности:

$\sin(γ_{вых}) = n \cdot (\sin(45°) \cos(β_1) - \cos(45°) \sin(β_1))$

Подставим ранее найденные значения $\sin(β_1) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и $\cos(β_1) = \frac{\sqrt{7}}{3}$, а также значения $\sin(45°) = \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\sin(γ_{вых}) = 1,5 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}) = 1,5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{6} (\sqrt{7} - \sqrt{2})$

$\sin(γ_{вых}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{6} (\sqrt{7} - \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{4} (\sqrt{7} - \sqrt{2})$

$\sin(γ_{вых}) = \frac{\sqrt{14} - 2}{4}$

Вычислим числовое значение:

$\sin(γ_{вых}) \approx \frac{3,742 - 2}{4} = \frac{1,742}{4} \approx 0,4355$

Теперь найдем сам угол $γ_{вых}$:

$γ_{вых} = \arcsin(0,4355) \approx 25,8°$

Ответ: Угол преломления луча, вышедшего из призмы, составляет примерно $25,8°$.