Номер 503, страница 151 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

503. Луч света, пройдя сквозь правильную стеклянную треугольную призму, отклоняется от первоначального направления распространения на угол $\Theta = 40^\circ$. Определите предельный угол полного отражения на границе стекло — воздух, если угол падения луча на ее первую преломляющую грань равен углу преломления на второй преломляющей грани.

Дано:

Призма — правильная стеклянная треугольная.

Угол отклонения луча $\theta = 40°$.

Угол падения на первую грань $\alpha_1$ равен углу преломления на второй грани $\beta_2$: $\alpha_1 = \beta_2$.

Показатель преломления воздуха $n_1 = 1$.

Найти:

Предельный угол полного отражения $\alpha_{пред}$.

Решение:

Поскольку призма правильная треугольная, ее преломляющий угол $A$ равен $60°$.

Угол отклонения луча $\theta$, прошедшего через призму, связан с углом падения $\alpha_1$, углом преломления на второй грани $\beta_2$ и преломляющим углом призмы $A$ соотношением:

$\theta = \alpha_1 + \beta_2 - A$

По условию задачи, $\alpha_1 = \beta_2$. Подставим это в формулу для угла отклонения:

$\theta = 2\alpha_1 - A$

Отсюда можем найти угол падения $\alpha_1$:

$2\alpha_1 = \theta + A$

$\alpha_1 = \frac{\theta + A}{2} = \frac{40° + 60°}{2} = \frac{100°}{2} = 50°$

Условие $\alpha_1 = \beta_2$ означает, что ход луча в призме симметричен. При симметричном ходе луча угол преломления на первой грани $\beta_1$ равен углу падения на вторую грань $\alpha_2$.

Сумма этих углов связана с преломляющим углом призмы:

$A = \beta_1 + \alpha_2$

Так как $\beta_1 = \alpha_2$, то $A = 2\beta_1$. Отсюда находим угол $\beta_1$:

$\beta_1 = \frac{A}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$

Теперь, используя закон преломления света (закон Снеллиуса) для первой грани, мы можем найти показатель преломления стекла $n_2$:

$n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \beta_1$

Поскольку $n_1 = 1$ (для воздуха), получаем:

$n_2 = \frac{\sin \alpha_1}{\sin \beta_1} = \frac{\sin 50°}{\sin 30°}$

Предельный угол полного внутреннего отражения $\alpha_{пред}$ на границе стекло-воздух определяется формулой:

$\sin \alpha_{пред} = \frac{n_1}{n_2}$

Подставим в эту формулу выражение для $n_2$:

$\sin \alpha_{пред} = \frac{1}{n_2} = \frac{\sin \beta_1}{\sin \alpha_1}$

Теперь выполним вычисления:

$\sin \alpha_{пред} = \frac{\sin 30°}{\sin 50°} \approx \frac{0.5}{0.766} \approx 0.6527$

Найдем сам угол:

$\alpha_{пред} = \arcsin(0.6527) \approx 40.8°$

Ответ: предельный угол полного отражения на границе стекло — воздух равен приблизительно $40.8°$.