Номер 481, страница 145 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

481. Предельный угол полного отражения света на границе бензин — воздух $\alpha_1 = 45^\circ$, а на границе стекло — воздух $\alpha_2 = 41^\circ$. Определите предельный угол полного отражения на границе стекло — бензин.

Дано:

Предельный угол полного отражения на границе бензин — воздух, $\alpha_1 = 45^\circ$.

Предельный угол полного отражения на границе стекло — воздух, $\alpha_2 = 41^\circ$.

Показатель преломления воздуха, $n_в \approx 1$.

Найти:

Предельный угол полного отражения на границе стекло — бензин, $\alpha_3$.

Решение:

Полное внутреннее отражение наблюдается при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную. Предельный угол полного отражения $\alpha_{пред}$ — это угол падения, при котором угол преломления составляет $90^\circ$.
По закону преломления света (закону Снеллиуса):
$n_1 \sin(\alpha_{пад}) = n_2 \sin(\beta_{прел})$
Для предельного угла:
$n_1 \sin(\alpha_{пред}) = n_2 \sin(90^\circ) = n_2 \cdot 1$
Отсюда формула для синуса предельного угла:
$\sin(\alpha_{пред}) = \frac{n_2}{n_1}$, где $n_1 > n_2$.

Обозначим показатель преломления бензина как $n_б$, стекла как $n_с$ и воздуха как $n_в$. Примем показатель преломления воздуха $n_в \approx 1$.

1. Для границы бензин — воздух свет переходит из бензина в воздух, следовательно, $n_б > n_в$.
$\sin(\alpha_1) = \frac{n_в}{n_б}$
Отсюда находим показатель преломления бензина:
$n_б = \frac{n_в}{\sin(\alpha_1)} = \frac{1}{\sin(45^\circ)}$

2. Для границы стекло — воздух свет переходит из стекла в воздух, следовательно, $n_с > n_в$.
$\sin(\alpha_2) = \frac{n_в}{n_с}$
Отсюда находим показатель преломления стекла:
$n_с = \frac{n_в}{\sin(\alpha_2)} = \frac{1}{\sin(41^\circ)}$

3. Теперь нужно определить предельный угол на границе стекло — бензин. Для этого сравним их показатели преломления:
$n_б = \frac{1}{\sin(45^\circ)} \approx \frac{1}{0.7071} \approx 1.414$
$n_с = \frac{1}{\sin(41^\circ)} \approx \frac{1}{0.6561} \approx 1.524$
Поскольку $n_с > n_б$, полное отражение будет наблюдаться при переходе света из стекла в бензин.
Искомый предельный угол $\alpha_3$ находится по формуле:
$\sin(\alpha_3) = \frac{n_б}{n_с}$
Подставим в эту формулу выражения для $n_б$ и $n_с$:
$\sin(\alpha_3) = \frac{\frac{n_в}{\sin(\alpha_1)}}{\frac{n_в}{\sin(\alpha_2)}} = \frac{\sin(\alpha_2)}{\sin(\alpha_1)}$
Выполним вычисления:
$\sin(\alpha_3) = \frac{\sin(41^\circ)}{\sin(45^\circ)} \approx \frac{0.6561}{0.7071} \approx 0.9279$
Найдем сам угол $\alpha_3$:
$\alpha_3 = \arcsin(0.9279) \approx 68.1^\circ$

Ответ: предельный угол полного отражения на границе стекло — бензин равен приблизительно $68.1^\circ$.